Determine o resto da divisão do polinômio (cos theta+x sen theta)^n por (x^2+1), em que n é um número natural.

Passo 1

Vamos determinar o resto da divisão de (costheta + xsintheta)^n por x^2+1. O conteúdo da matéria é o teorema do resto para polinômios, e vamos precisar usar que o resto de uma divisão por um quadrático x^2+1 é um polinômio de grau menor que 2, além de avaliar em x=i e x=-i.

Passo 2

Chamamos o polinômio dado de P(x) = (costheta + xsintheta)^n. Como o divisor x^2+1 é de grau 2, o resto R(x) tem grau menor que 2, ou seja, é da forma R(x) = a x + b Pelo teorema do resto estendido, esse resto satisfaz R(i) = P(i) e R(-i) = P(-i)

Passo 3

Calculando P(i) e P(-i): como costheta + isintheta = e^itheta, temos
P(i) = (costheta + isintheta)^n = e^i ntheta, e análogamente P(-i) = (costheta - isintheta)^n = e^-i ntheta

Passo 4

Agora impomos as igualdades R(i) = a,i + b = e^i ntheta, e
[R(-i) = -a,i + b = e^{-i n\theta}."]

Passo 5

Somando as duas equações obtemos 2b = e^i ntheta + e^-i ntheta = 2cos(ntheta) implies b = cos(ntheta) Subtraindo a segunda da primeira obtemos 2a,i = e^i ntheta - e^-i ntheta = 2i,sin(ntheta) implies a = sin(ntheta)

Passo 6

Portanto o resto da divisão é R(x) = sin(ntheta),x + cos(ntheta)

Resposta

sin(ntheta),x + cos(ntheta)

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