Determine o resto da divisão do polinômio
por
, em que
é um número natural.
Passo 1
Vamos determinar o resto da divisão de
por
. O conteúdo da matéria é o teorema do resto para polinômios, e vamos precisar usar que o resto de uma divisão por um quadrático
é um polinômio de grau menor que 2, além de avaliar em
e
.
Passo 2
Chamamos o polinômio dado de
. Como o divisor
é de grau 2, o resto
tem grau menor que 2, ou seja, é da forma
Pelo teorema do resto estendido, esse resto satisfaz
Passo 3
Calculando
e
: como
, temos
Passo 4
Agora impomos as igualdades
e
[R(-i) = -a,i + b = e^{-i n\theta}."]
[R(-i) = -a,i + b = e^{-i n\theta}."]
Passo 5
Somando as duas equações obtemos
Subtraindo a segunda da primeira obtemos
Passo 6
Portanto o resto da divisão é