Considere o polinômio
, em que a
é tal que a soma das raízes de
é igual a 3. Determine a raiz
de
tal que duas, e apenas duas, soluções da equação em
, estejam no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para achar o valor de m que satisfaz duas condições: primeiro, a soma das raízes do polinômio P(m)=a m²−3m−18 é 3; segundo, para esse m, a equação cúbica x³+mx²+(m+4)x+5=0 deve ter exatamente duas raízes em (−2,2). Vamos usar teoria de soma de raízes e análise de sinais e fatoração para contar raízes no intervalo.
Passo 2
A soma das raízes de P(m)=a m²−3m−18, por fórmula de Viète, é −(−3)/a=3/a. Como essa soma deve valer 3, temos 3/a=3 ⇒ a=1. Então P(m)=m²−3m−18, cujas raízes são dadas por fatoração: m²−3m−18=(m−6)(m+3). Logo m=6 ou m=−3.
Passo 3
Para m=6, a cúbica fica f(x)=x³+6x²+10x+5. Primeiro observe f(−2)=−8+24−20+5=1>0 e f(2)=8+24+20+5=57>0, mas encontramos f(−1)=−1+6−10+5=0, logo x=−1 é raiz. Fazendo divisão sintética por x+1, obtemos f(x)=(x+1)(x²+5x+5). As raízes do quadrado são x=[−5±√5]/2≈−1.382 e −3.618. Dessas, −1 e −1.382 estão em (−2,2), totalizando duas raízes no intervalo.
Passo 4
Para m=−3, a cúbica é g(x)=x³−3x²+x+5. Calculamos g(−2)=−8−12−2+5=−17<0 e g(2)=8−12+2+5=3>0, e encontramos g(−1)=−1−3−1+5=0, logo x=−1. Pela divisão por x+1, g(x)=(x+1)(x²−4x+5), e o discriminante desse quadrado é (−4)²−4·1·5=16−20<0, ou seja, as outras duas raízes são complexas. Assim há só 1 raiz real em (−2,2).
Passo 5
Como só para m=6 obtemos exatamente duas raízes reais no intervalo (−2,2), essa é a resposta buscada.
Resposta
m=6