Determine o resultado das seguintes operações:
Os resultados de (a) e (b) devem ser apresentados na forma retangular e (c) e (d) na forma polar.
5 \angle-200^{\circ}+4 \angle 20^{\circ}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Foi dada a soma de dois fasores (números complexos em forma polar):
5\angle -200^\circ + 4\angle 20^\circ.
  • Objetivo: calcular o resultado dessa soma. Vou mostrar passo a passo como converter cada fasor para a forma retangular (parte real + j parte imaginária), somá-los e, em seguida, apresentar também a forma polar do resultado. Vou explicar cada fórmula usada como se estivéssemos juntos na prova.

Passo 2

Como converter um número em forma polar para forma retangular (aula rápida).
  • Um fasor em forma polar \;R\angle\theta\; corresponde ao número complexo em forma retangular
R\angle\theta = R\big(\cos\theta + j\sin\theta\big),
onde:
  • R é o módulo (comprimento do vetor),
  • \theta é o argumento em graus ( ^\circ),
  • j é a unidade imaginária.
  • Então, para somar fasores é mais fácil convertê-los para retangular, somar partes reais e imaginárias, e (se preciso) voltar para polar.

Passo 3

Converter cada fasor para a forma retangular usando identidades trigonométricas (para simplificar ângulos).
  • Primeiro fasor:
5\angle -200^\circ = 5\big(\cos(-200^\circ) + j\sin(-200^\circ)\big).
Usando identidades trigonométricas:
\cos(-200^\circ)=\cos(200^\circ)=\cos(180^\circ+20^\circ)=-\cos20^\circ,
\sin(-200^\circ)=-\sin(200^\circ)=-\sin(180^\circ+20^\circ)=-(-\sin20^\circ)=\sin20^\circ.
Logo
5\angle -200^\circ = 5\big(-\cos20^\circ + j\sin20^\circ\big) = -5\cos20^\circ + j\,5\sin20^\circ.
  • Segundo fasor:
4\angle 20^\circ = 4\big(\cos20^\circ + j\sin20^\circ\big) = 4\cos20^\circ + j\,4\sin20^\circ.

Passo 4

Somar as partes real e imaginária.
  • Soma real:
-5\cos20^\circ + 4\cos20^\circ = (-5+4)\cos20^\circ = -\cos20^\circ.
  • Soma imaginária:
5\sin20^\circ + 4\sin20^\circ = 9\sin20^\circ.
  • Portanto a soma em forma simbólica retangular é
-\cos20^\circ + j\,9\sin20^\circ.

Passo 5

Calcular aproximações numéricas (valores trigonométricos) para obter a forma retangular numérica.
  • Valores trigonométricos (aproximações razoáveis para prova):
\cos20^\circ \approx 0,9396926208,\qquad \sin20^\circ \approx 0,3420201433.
  • Assim
\text{Re} = -\cos20^\circ \approx -0,9396926208 \approx -0,9397,
\text{Im} = 9\sin20^\circ \approx 9\cdot 0,3420201433 \approx 3,0781812897 \approx 3,0782.
  • Logo, a forma retangular (numérica, arredondada) é
-0,9397 + j\,3,0782.

Passo 6

Converter o resultado retangular para forma polar (aula prática: módulo e argumento).
  • Fórmulas:
r = \sqrt{(\text{Re})^2 + (\text{Im})^2},\qquad \varphi = \operatorname{atan2}(\text{Im},\text{Re}),
onde \operatorname{atan2} escolhe o quadrante correto do ângulo.
  • Cálculo do módulo (usando os valores exatos já simplificados):
r = \sqrt{\big(-\cos20^\circ\big)^2 + \big(9\sin20^\circ\big)^2} = \sqrt{\cos^2 20^\circ + 81\sin^2 20^\circ}.
Usando os valores numéricos:
r \approx \sqrt{0,9396926208^2 + 3,0781812897^2} \approx \sqrt{0,8830222216 + 9,4752000504} \approx \sqrt{10,358222272} \approx 3,2186.
  • Cálculo do argumento:
    • A parte real é negativa e a imaginária é positiva, portanto o ponto está no quadrante II; o ângulo será entre 90^\circ e 180^\circ.
    • Primeiro calculamos a tangente absoluta:
    \left|\tan\theta_{\text{ref}}\right| = \frac{|\text{Im}|}{|\text{Re}|} = \frac{3,0781812897}{0,9396926208}\approx 3,2758,
\theta_{\text{ref}} = \arctan(3,2758)\approx 73,0136^\circ.
  • Como estamos no quadrante II,
\varphi = 180^\circ - \theta_{\text{ref}} \approx 180^\circ - 73,0136^\circ \approx 106,9864^\circ \approx 106,99^\circ.
  • Assim a forma polar (arredondada) é
3,2186\angle 106,99^\circ.

Passo 7

Resumo final dos resultados (já prontos para conferir rápido na prova).
  • Forma retangular: -0,9397 + j\,3,0782.
  • Forma polar: 3,2186\angle 106,99^\circ.

Resposta

Forma retangular: -0,9397 + j\,3,0782
Forma polar: 3,2186\angle 106,99^\circ

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