Determine o resultado das seguintes operações:
Os resultados de (a) e (b) devem ser apresentados na forma retangular e (c) e (d) na forma polar.
Os resultados de (a) e (b) devem ser apresentados na forma retangular e (c) e (d) na forma polar.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Foi dada a soma de dois fasores (números complexos em forma polar):
- Objetivo: calcular o resultado dessa soma. Vou mostrar passo a passo como converter cada fasor para a forma retangular (parte real + j parte imaginária), somá-los e, em seguida, apresentar também a forma polar do resultado. Vou explicar cada fórmula usada como se estivéssemos juntos na prova.
Passo 2
Como converter um número em forma polar para forma retangular (aula rápida).
- Um fasor em forma polar
corresponde ao número complexo em forma retangular
onde:
-
é o módulo (comprimento do vetor), -
é o argumento em graus ( ), -
é a unidade imaginária. - Então, para somar fasores é mais fácil convertê-los para retangular, somar partes reais e imaginárias, e (se preciso) voltar para polar.
Passo 3
Converter cada fasor para a forma retangular usando identidades trigonométricas (para simplificar ângulos).
- Primeiro fasor:
Usando identidades trigonométricas:
Logo
- Segundo fasor:
Passo 4
Somar as partes real e imaginária.
- Soma real:
- Soma imaginária:
- Portanto a soma em forma simbólica retangular é
Passo 5
Calcular aproximações numéricas (valores trigonométricos) para obter a forma retangular numérica.
- Valores trigonométricos (aproximações razoáveis para prova):
- Assim
- Logo, a forma retangular (numérica, arredondada) é
Passo 6
Converter o resultado retangular para forma polar (aula prática: módulo e argumento).
- Fórmulas:
onde
escolhe o quadrante correto do ângulo.
- Cálculo do módulo (usando os valores exatos já simplificados):
Usando os valores numéricos:
- Cálculo do argumento:
- A parte real é negativa e a imaginária é positiva, portanto o ponto está no quadrante II; o ângulo será entre
e . - Primeiro calculamos a tangente absoluta:
- A parte real é negativa e a imaginária é positiva, portanto o ponto está no quadrante II; o ângulo será entre
- Como estamos no quadrante II,
- Assim a forma polar (arredondada) é
Passo 7
Resumo final dos resultados (já prontos para conferir rápido na prova).
- Forma retangular:
. - Forma polar:
.
Resposta
Forma retangular:
Forma polar:
Forma polar: