Encontre o domínio e a imagem das funções. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos.
8. F(t)=3+\cos 2 t

Passo 1

O enunciado dá a função F(t)=3+\cos 2t e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por F) e escrever tudo em notação de intervalos.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita da função é F(t)=3+\cos 2t.
  • Não há restrição adicional no enunciado (nenhuma raiz, log, divisão por zero, etc.).

Passo 2

O que é domínio?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada t para os quais a expressão da função está bem definida. Para a função dada, a única parte que pode causar restrição é a função cosseno \cos. Saber se há restrição exige lembrar onde \cos está definido.

Passo 3

Propriedade do cosseno: \cos x está definido para todo x\in\mathbb{R}.
Isto significa que \cos 2t está definido para todo t\in\mathbb{R} (multiplicar o argumento por 2 não cria singularidade). Portanto a expressão 3+\cos 2t está bem definida para todo t\in\mathbb{R}.
Conclusão sobre domínio: o domínio é o conjunto de todos os números reais, isto é (-\infty,\infty).

Passo 4

O que é imagem (ou contradomínio efetivo)?
A imagem de uma função é o conjunto de valores y que a função realmente assume quando t varia sobre o domínio. Para encontrar a imagem de F(t)=3+\cos 2t, vamos usar o fato conhecido sobre o alcance do cosseno.

Passo 5

Propriedade do alcance do cosseno: para todo x\in\mathbb{R} tem-se -1\le \cos x \le 1.
Isso quer dizer que o intervalo de valores possíveis de \cos x é [-1,1].

Passo 6

O efeito de alterar o argumento: substituir x por 2t (ou por qualquer função de t) NÃO altera a amplitude dos valores do cosseno; apenas muda a frequência/periodicidade. Logo \cos 2t também tem imagem [-1,1], ou seja:
-1\le \cos 2t \le 1\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.

Passo 7

Aplicar a translação vertical: se u varia em [-1,1], então 3+u varia em [3-1,\,3+1]=[2,4]. Aplicando isso a u=\cos 2t obtemos
2\le 3+\cos 2t \le 4.
Portanto a imagem candidata é o intervalo [2,4].

Passo 8

Verificar que os extremos são realmente atingidos (importante para certeza de que a imagem é intervalo fechado):
  • Para máximo 4: escolher t tal que \cos 2t=1. Uma escolha simples é t=0 porque \cos(2\cdot 0)=\cos 0=1. Então F(0)=3+1=4. Logo 4 é atingido.
  • Para mínimo 2: escolher t tal que \cos 2t=-1. Uma escolha simples é t=\dfrac{\pi}{2} porque \cos\bigl(2\cdot \dfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\pi=-1. Então F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=3-1=2. Logo 2 é atingido.
Como F é contínua (soma de funções contínuas) e assume os extremos 2 e 4, sua imagem é exatamente o intervalo fechado [2,4].

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: [2,4]

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