Encontre o domínio e a imagem das funções. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos.
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Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função.
- Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por
) e escrever tudo em notação de intervalos.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita da função é
. - Não há restrição adicional no enunciado (nenhuma raiz, log, divisão por zero, etc.).
Passo 2
O que é domínio?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a expressão da função está bem definida. Para a função dada, a única parte que pode causar restrição é a função cosseno
. Saber se há restrição exige lembrar onde
está definido.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada
Passo 3
Propriedade do cosseno:
está definido para todo
.
Isto significa que está definido para todo
(multiplicar o argumento por
não cria singularidade). Portanto a expressão
está bem definida para todo
.
Isto significa que
Conclusão sobre domínio: o domínio é o conjunto de todos os números reais, isto é
.
Passo 4
O que é imagem (ou contradomínio efetivo)?
A imagem de uma função é o conjunto de valores que a função realmente assume quando
varia sobre o domínio. Para encontrar a imagem de
, vamos usar o fato conhecido sobre o alcance do cosseno.
A imagem de uma função é o conjunto de valores
Passo 5
Propriedade do alcance do cosseno: para todo
tem-se
.
Isso quer dizer que o intervalo de valores possíveis de é
.
Isso quer dizer que o intervalo de valores possíveis de
Passo 6
O efeito de alterar o argumento: substituir
por
(ou por qualquer função de
) NÃO altera a amplitude dos valores do cosseno; apenas muda a frequência/periodicidade. Logo
também tem imagem
, ou seja:
Passo 7
Aplicar a translação vertical: se
varia em
, então
varia em
. Aplicando isso a
obtemos
Portanto a imagem candidata é o intervalo
.
Passo 8
Verificar que os extremos são realmente atingidos (importante para certeza de que a imagem é intervalo fechado):
- Para máximo
: escolher tal que . Uma escolha simples é porque . Então . Logo é atingido. - Para mínimo
: escolher tal que . Uma escolha simples é porque . Então . Logo é atingido.
Como
é contínua (soma de funções contínuas) e assume os extremos
e
, sua imagem é exatamente o intervalo fechado
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: