Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
\cos x \frac{d y}{d x}+(\operatorname{sen} x) y=\cos ^{2} x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\cos x\,\frac{dy}{dx}+(\operatorname{sen} x)\,y=\cos^{2}x
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação é de primeira ordem (aparece somente dy/dx).
  • O coeficiente de dy/dx é \cos x. Portanto só se pode dividir por \cos x em intervalos onde \cos x\neq 0. Logo é necessário considerar a solução em intervalos que não contenham pontos onde \cos x=0 (ou seja, evitar x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}).
  • A meta é obter a família geral de soluções (com constante arbitrária).

Passo 2

Vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
dividindo ambos os lados por \cos x (válido somente onde \cos x\neq 0) obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{\sin x}{\cos x}\,y=\cos x.
Aqui identifique:
P(x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x,\qquad Q(x)=\cos x.
Explicação rápida: a forma padrão é \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x). Colocar a equação nessa forma é o primeiro passo para usar o fator integrante.

Passo 3

Apresentando o método do fator integrante (explicado passo a passo):
  • A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y(x).
  • Para isso escolhemos
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Aqui P(x)=\tan x. Vamos calcular a integral \int \tan x\,dx.

Passo 4

Calcule \int \tan x\,dx. Use \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e a substituição u=\cos x, du=-\sin x\,dx:
\int \tan x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx =\int \frac{-du}{u}=-\ln|u|+C=-\ln|\cos x|+C.
Portanto podemos escolher (ignorando a constante multiplicativa que seria absorvida depois)
\mu(x)=\exp\!\big(-\ln|\cos x|\big)=\frac{1}{|\cos x|}.
Para trabalhar de forma simples num intervalo onde \cos x não muda de sinal, podemos escolher
\mu(x)=\frac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x,
observando que um fator constante de sinal não altera a família final de soluções (fica absorvido na constante de integração).

Passo 5

Multiplique a equação padrão por \mu(x)=\operatorname{sec} x:
\operatorname{sec} x\frac{dy}{dx}+\operatorname{sec} x\tan x\,y=\operatorname{sec} x\cos x.
Simplifique o lado direito: \operatorname{sec} x\cos x=1. Agora note que a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x. Por isso o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \operatorname{sec} x\cdot y:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\;y\big)=1.
Explicação: \dfrac{d}{dx}(\operatorname{sec} x\;y)=\operatorname{sec} x\,\dfrac{dy}{dx}+(\operatorname{sec} x\tan x)\,y, que coincide com o que temos após multiplicar por \operatorname{sec} x.

Passo 6

Integre ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\;y\big)\,dx=\int 1\,dx \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec} x\;y = x + C,
onde C é a constante de integração (real).

Passo 7

Isolando y obtemos a solução geral:
y(x)=(x+C)\cos x.
Aqui usei \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} para escrever y=(x+C)\cos x. A constante C é arbitrária e real.

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule y' a partir de y=(x+C)\cos x:
y'=\cos x - (x+C)\sin x.
Calcule \cos x\,y'+\sin x\,y:
\cos x\big(\cos x-(x+C)\sin x\big)+\sin x\big((x+C)\cos x\big) =\cos^{2}x-(x+C)\cos x\sin x+(x+C)\sin x\cos x=\cos^{2}x,
que coincide com o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta (nos intervalos onde fizemos a divisão por \cos x).

Passo 9

Observação sobre o domínio: a dedução acima é válida em cada intervalo onde \cos x\neq 0 (isto é, em intervalos que não contenham pontos x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}). Nos pontos onde \cos x=0 a equação original reduz-se a \sin x\,y=\cos^{2}x=0, portanto em tais pontos deve valer y=0 se se quiser estender a solução de forma contínua. Entretanto a equação é singular nesses pontos e a formulação da solução geral feita acima descreve as soluções em cada intervalo aberto entre essas singularidades; extensões atravessando as singularidades podem ser feitas levando y(\tfrac{\pi}{2}+k\pi)=0 se desejado.

Resposta

y(x)=(x+C)\cos x,\qquad C\in\mathbb{R}, para x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.

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