Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A incógnita é a função
. - A equação é de primeira ordem (aparece somente
). - O coeficiente de
é . Portanto só se pode dividir por em intervalos onde . Logo é necessário considerar a solução em intervalos que não contenham pontos onde (ou seja, evitar , ). - A meta é obter a família geral de soluções (com constante arbitrária).
Passo 2
Vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
dividindo ambos os lados por (válido somente onde
) obtemos
dividindo ambos os lados por
Aqui identifique:
Explicação rápida: a forma padrão é
. Colocar a equação nessa forma é o primeiro passo para usar o fator integrante.
Passo 3
Apresentando o método do fator integrante (explicado passo a passo):
- A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto . - Para isso escolhemos
Aqui
. Vamos calcular a integral
.
Passo 4
Calcule
. Use
e a substituição
,
:
Portanto podemos escolher (ignorando a constante multiplicativa que seria absorvida depois)
Para trabalhar de forma simples num intervalo onde
não muda de sinal, podemos escolher
observando que um fator constante de sinal não altera a família final de soluções (fica absorvido na constante de integração).
Passo 5
Multiplique a equação padrão por
:
Simplifique o lado direito:
. Agora note que a derivada de
é
. Por isso o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
:
Explicação:
, que coincide com o que temos após multiplicar por
.
Passo 6
Integre ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração (real).
Passo 7
Isolando
obtemos a solução geral:
Aqui usei
para escrever
. A constante
é arbitrária e real.
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule
a partir de
:
Calcule
:
que coincide com o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta (nos intervalos onde fizemos a divisão por
).
Passo 9
Observação sobre o domínio: a dedução acima é válida em cada intervalo onde
(isto é, em intervalos que não contenham pontos
,
). Nos pontos onde
a equação original reduz-se a
, portanto em tais pontos deve valer
se se quiser estender a solução de forma contínua. Entretanto a equação é singular nesses pontos e a formulação da solução geral feita acima descreve as soluções em cada intervalo aberto entre essas singularidades; extensões atravessando as singularidades podem ser feitas levando
se desejado.