Determine se a reta e o plano são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.
x=-1+2 t, y=4+t, z=1-t ; 4 x+2 y-2 z=7

Passo 1

O enunciado dá a reta
x=-1+2t, y=4+t, z=1-t
e o plano
4x+2y-2z=7
Queremos saber se a reta é paralela ao plano, perpendicular a ele ou nenhum dos dois, usando vetores direção e normal.

Passo 2

A condição geral é:
– Se o vetor direção vec d for ortogonal ao vetor normal vec n do plano (ou seja, vec dcdotvec n=0), então a reta é paralela ao plano.
– Se vec d for colinear a vec n, então a reta é perpendicular ao plano.

Passo 3

Extraímos
vec d=(2,1,-1) da reta e
vec n=(4,2,-2) do plano.
Calculamos o produto escalar:
vec dcdotvec n = 2cdot4 + 1cdot2 + (-1)cdot(-2) = 8 + 2 + 2 = 12 neq 0,
logo a reta não é paralela ao plano.

Passo 4

Verificamos colinearidade entre vec d e vec n:
vec n = 2,(2,1,-1) = 2,vec d,
portanto vec d e vec n são colineares, o que significa que a reta é perpendicular ao plano.

Resposta

A reta e o plano são perpendiculares.

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