Determine se a reta e o plano são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.
x=4+2 t, y=-t, z=-1-4 t ; 3 x+2 y+z-7=0

Passo 1

O enunciado fornece a reta em forma paramétrica
x=4+2t, y=-t, z=-1-4t
e o plano
3x+2y+z-7=0
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: usamos o vetor direção da reta e o vetor normal do plano, aplicando o produto escalar para testar paralelismo e verificando se um vetor é múltiplo do outro para testar perpendicularidade.

Passo 2

Extraímos da reta seu vetor direção
v = (2,,-1,,-4)
e do plano seu vetor normal
n = (3,,2,,1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar
vcdot n = 2cdot3 + (-1)cdot2 + (-4)cdot1 = 6 - 2 - 4 = 0
Como vcdot n = 0, temos vperp n.

Passo 4

Quando o vetor direção da reta é perpendicular ao normal do plano, a reta é paralela ao plano. Além disso, v não é múltiplo de n, então a reta não é perpendicular ao plano.

Resposta

A reta e o plano são paralelos.

Exercícios relacionados