Determine se a reta e o plano são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.
x=t, y=2 t, z=3 t ; x-y+2 z=5

Passo 1

O enunciado fornece a reta
x = t, y = 2t, z = 3t
e o plano
x - y + 2z = 5
O conteúdo é geometria analítica no espaço: para analisar a posição relativa entre reta e plano, vamos extrair o vetor direcional da reta e o vetor normal do plano, e aplicar os testes de paralelismo e perpendicularidade.

Passo 2

O vetor direcional da reta é
v = (1,,2,,3),
pois cada coordenada cresce proporcionalmente a t nas componentes x,y,z.

Passo 3

O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de x,y,z na equação do plano, ou seja
n = (1,,-1,,2)

Passo 4

Para que a reta seja paralela ao plano, é necessário que v seja ortogonal a n, isto é,
vcdot n = 0
Calculamos
vcdot n =1cdot 1 + 2cdot(-1) + 3cdot 2 =1 - 2 + 6 =5neq 0
Logo, a reta não é paralela ao plano.

Passo 5

Para que a reta seja perpendicular ao plano, o vetor direcional v precisaria ser paralelo a n$, ou seja, existir lambda tal que
v = lambda,n
Comparando componentes:
1 = lambdacdot1, 2 = lambdacdot(-1), 3 = lambdacdot 2
da primeira equação vem lambda=1, mas então a segunda exigiria 2=-1, o que é impossível. Logo, v não é paralelo a n e a reta não é perpendicular ao plano.

Passo 6

Como a reta não satisfaz nenhum dos dois critérios (não é paralela nem perpendicular ao plano), concluímos que ela está em posição oblíqua em relação ao plano.

Resposta

Nenhum dos dois.

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