Mostre que:
a) Q[raiz2]=a+b raiz2 mid a, b in Q é um subcorpo de R;
b) Existe uma infinidade de corpos K tais que Q subset K subset R.
Solução:
a) Escolhendo a=b=1 temos que 1+raiz2 in Q[raiz2] Rightarrow Q[raiz2] neq emptyset. Sejam x=a+b raiz2 e y=c+d raiz2 dois elementos genéricos de Q[raiz2]. Temos que:
l circ x-y=(a+b raiz2)-(c+d raiz2)=underbrace(a-c)in Q+underbrace(b-d)in Q raiz2 in Q[raiz2] circ x cdot y=(a+b raiz2)(c+d raiz2)=underbrace(a c+2 b d)in Q+underbrace(a d+b c)in Q raiz2 in Q[raiz2]
Fica mostrado dessa forma que Q[raiz2] é um subanel de R. Para ser subcorpo, faltam ainda outras propriedades:
  • Escolhendo a=1 e b=0 temos que 1=1+0 raiz2 in Q[raiz2] Rightarrow Q[raiz2] tem unidade
    circ x cdot y=(a+b raiz2)(c+d raiz2)=(a c+2 b d)+(a d+b c) raiz2 e y cdot x=(c+d raiz2)(a+b raiz2)=(c a+2 d b)+(d a+c b) raiz2 Rightarrow x cdot y=y cdot x Rightarrow Q[raiz2] é comutativo
  • Seja x=m+n raiz2 um elemento não nulo de Q[raiz2]. O inverso multiplicativo x^-1 é igual a 1m+n raiz2=m-n raiz2(m+n raiz2)(m-n raiz2)=underbracemm^2-2 n^2in Q+underbrace-nm^2-2 n^2in Q raiz2 que é um elemento de Q[raiz2].
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    b) De modo semelhante ao que foi feito no item (a), podemos mostrar que se p for um primo positivo, Q[raizp]=a+b raizp mid a, b in Q é um subcorpo de R. Obtemos, dessa forma, uma infinidade de corpos Q[raiz2], Q[raiz3], Q[raiz5], Q[raiz7], cdots todos contidos em R e contendo o conjunto Q.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
(a) Q[raiz2]=a+braiz2mid a,binQ é um subcorpo de R, isto é, contém 0,1, é fechado sob soma, produto e inverso (aditivo e multiplicativo), e é comutativo.
(b) Exibir infinita-mente muitos corpos K com
Q;subset;K;subset;R
Para (b) vamos usar o mesmo padrão de (a) substituindo raiz2 por raizp, com p primo.

Passo 2

Mostramos que Q[raiz2] não é vazio e é fechado em subtração e em produto. Seja
x = a + braiz2, y = c + draiz2,
com a,b,c,dinQ. Então
x - y = (a-c) + (b-d)raiz2inQ[raiz2],
xcdot y = (a+braiz2)(c+draiz2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)raiz2inQ[raiz2]

Passo 3

Verificamos que 0,1inQ[raiz2] e que o produto é comutativo.
0 = 0 + 0raiz2, 1 = 1 + 0raiz2
E como em R vale xy=yx, fica evidente que Q[raiz2] é comutativo.

Passo 4

Mostramos que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo em Q[raiz2]. Seja
x = m + nraiz2neq 0, m,ninQ
Então
x^-1 = 1m+nraiz2 = m - nraiz2(m+nraiz2)(m-nraiz2) = mm^2-2n^2 ;+;-nm^2-2n^2,raiz2,
e m^2-2n^2neq0 sempre que m+nraiz2neq0. Cada coeficiente está em Q, logo x^-1inQ[raiz2].

Passo 5

Reunindo tudo: Q[raiz2] contém 0,1, é fechado sob adição (e subtração), produto, e cada elemento não-nulo tem inverso, além de ser comutativo. Portanto Q[raiz2] é de fato um subcorpo de R.

Passo 6

Para cada primo positivo p definimos
Q[raizp] = ,a + braizpmid a,binQ
O mesmo argumento dos passos anteriores mostra que Q[raizp] é subcorpo de R contendo Q. Como há infinitos primos p, obtemos uma infinidade de corpos intermediários
Q;subset;Q[raiz2],; Q[raiz3],; Q[raiz5],; Q[raiz7],;dots

Resposta

(a) Q[raiz2] satisfaz todas as propriedades de um subcorpo de R.
(b) Como existem infinitos primos p, os corpos Q[raizp] formam uma infinidade de campos com
QsubsetQ[raizp]subsetR.

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