Determine a reta r que passa por P=(1,0,1) e é ortogonal ao plano pi: x-2 y+4 z=1. Encontre r cap pi.

Passo 1

O problema é da parte de geometria analítica no espaço: precisamos achar a reta r que passa por P=(1,0,1) e é ortogonal ao plano
pi: x - 2y + 4z = 1
Para isso vamos usar que o vetor normal do plano serve de direção para qualquer reta perpendicular a ele, e depois encontramos a interseção de r com pi.

Passo 2

Os coeficientes de x,y,z na equação de pi formam o vetor normal
n = (1,-2,4)
Como r é ortogonal a pi, sua direção é n.

Passo 3

Escrevendo r em forma vetorial e paramétrica, partindo de P e com direção n:
r: (x,y,z) = (1,0,1) + t,(1,-2,4), tinR,
ou, em coordenadas:
x = 1 + t, y = 0 - 2t, z = 1 + 4t

Passo 4

Para achar rcappi, substituímos essas expressões na equação de pi:
(1 + t) ;-; 2l(0 - 2tr);+;4l(1 + 4tr);=;1

Passo 5

Calculando:
1 + t ;+;4t ;+;4 + 16t ;=;1 Longrightarrow 5 + 21t = 1 Longrightarrow t = -421
Substituindo em (x,y,z):
x = 1 - 421 = 1721, y = -2l(-421r) = 821, z = 1 + 4l(-421r) = 521

Resposta

A reta é
r: (x,y,z) = (1,0,1) + t,(1,-2,4),
e o ponto de interseção é
rcappi = l(tfrac1721,,tfrac821,,tfrac521r)

Exercícios relacionados