Obtenha equações paramétricas da reta
que contém o ponto
e é perpendicular a
. Determine
.
Passo 1
O enunciado nos dá a reta
na forma simétrica
e o ponto
. Queremos a reta
que passa por
e é perpendicular a
, e depois determinar o ponto
. Para isso, vamos:
- escrever
em forma paramétrica e extrair sua direção; - encontrar o pé da perpendicular de
em (ponto de interseção ); - escrever
usando e ; - concluir que
.
Passo 2
Escrevendo
em forma paramétrica, seja o parâmetro
tal que
Logo
Um ponto de apoio é
(quando
) e o vetor direção de
é
Para obtermos a reta perpendicular
que passa por
e corta
, precisamos primeiro achar o pé da perpendicular
de
em
.
Passo 3
Seja
. O pé da perpendicular
Q está dado por
Calculamos
logo o coeficiente é
tfrac714=tfrac12 . Assim
Passo 4
O vetor direção de
s é
PQ = Q - P = l(2-1,tfrac52-3,tfrac12-1r) = (1,-tfrac12,-tfrac12) . Para evitar frações, multiplicamos por 2 e usamos
Como
s passa por
P=(1,3,1) e tem direção
vs , suas equações paramétricas são, com parâmetro
u :
Passo 5
O ponto de interseção
rcap s é exatamente o pé da perpendicular
Q , pois é o único ponto comum. Assim
Resposta
As equações paramétricas da reta
s são
e o ponto de interseção é