Obtenha equações paramétricas da reta s que contém o ponto P=(1,3,1) e é perpendicular a r: x-12=y-13=z. Determine r cap s.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta r na forma simétrica
x-12=y-13=z
e o ponto P=(1,3,1). Queremos a reta s que passa por P e é perpendicular a r, e depois determinar o ponto rcap s. Para isso, vamos:
  1. escrever r em forma paramétrica e extrair sua direção;
  2. encontrar o pé da perpendicular de P em r (ponto de interseção Q);
  3. escrever s usando P e Q;
  4. concluir que rcap s=Q.

Passo 2

Escrevendo r em forma paramétrica, seja o parâmetro t tal que
x-12=y-13=z=t
Logo
x=1+2t, y=1+3t, z=t
Um ponto de apoio é A=(1,1,0) (quando t=0) e o vetor direção de r é
dr=(2,3,1)
Para obtermos a reta perpendicular s que passa por P e corta r, precisamos primeiro achar o pé da perpendicular Q de P em r.

Passo 3

Seja AP = P - A = (1-1,,3-1,,1-0) = (0,2,1). O pé da perpendicular Q está dado por
Q = A + APcdotdrdrcdotdr,dr
Calculamos
APcdotdr = (0,2,1)cdot(2,3,1) = 0+6+1=7,
drcdotdr = 2^2+3^2+1^2 = 14,
logo o coeficiente é tfrac714=tfrac12. Assim
Q = (1,1,0) + tfrac12,(2,3,1) = l(1+1,;1+1,5,;0+0,5r) = l(2,tfrac52,tfrac12r)

Passo 4

O vetor direção de s é PQ = Q - P = l(2-1,tfrac52-3,tfrac12-1r) = (1,-tfrac12,-tfrac12). Para evitar frações, multiplicamos por 2 e usamos
vs = (2,-1,-1)
Como s passa por P=(1,3,1) e tem direção vs, suas equações paramétricas são, com parâmetro u:
x = 1 + 2u, y = 3 - u, z = 1 - u

Passo 5

O ponto de interseção rcap s é exatamente o pé da perpendicular Q, pois é o único ponto comum. Assim
rcap s = ll(2,tfrac52,tfrac12r)r

Resposta

As equações paramétricas da reta s são
x = 1 + 2u, y = 3 - u, z = 1 - u,
e o ponto de interseção é
rcap s = l(2,tfrac52,tfrac12r)

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