Questão 1 (3,0 pontos). Considere as seguintes retas:
r:l x=0 y=-1 s:l x=2-2 y z=2
a) Estude a posição relativa entre r e s.
b) Obtenha uma equação geral do plano que contém r e é paralelo à s.
c) Verifique se as retas são ortogonais ou não.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r:x=0,;y=-1, em que z varia livremente, e
s:x=2-2y,;z=2, em que y varia livremente.
Precisamos estudar:
  1. posição relativa entre r e s,
  2. um plano que contém r e é paralelo a s,
  3. se r e s são ortogonais pelos seus vetores direção.

Passo 2

Extraímos vetores direção e pontos-padrão:
Para
Para , como , , , temos
Para ver se há interseção, igualamos coordenadas de e :
Logo não se intersectam. Como , são retas embaralhadas (retais reversas, ou “skew”).

Passo 3

O plano que contém r deve conter vec vr e ser paralelo a vec vs.
Logo seu vetor normal é
vec n=vec vrtimesvec vs = i& j& k 0&0&1 -2&1&0 =(-1,-2,0)
Tomando o ponto Pr=(0,-1,0) em r, a equação cartesiana do plano é
-1(x-0)-2l(y+1r)+0,(z-0)=0 Longrightarrow x+2y+2=0

Passo 4

Para verificar ortogonalidade usamos o produto escalar:
vec vrcdotvec vs =(0,0,1)cdot(-2,1,0)=0
Como o produto é zero, os vetores direção são ortogonais.

Resposta

a) As retas r e s são reversas (skew): não são paralelas nem se intersectam.
b) Uma equação geral do plano que contém r e é paralelo a s é
x+2y+2=0
c) Os vetores direção satisfazem vec vrcdotvec vs=0, logo as retas são ortogonais.

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