Exercício 20. Mostre que a área do paralelogramo determinado pelos vetores
e
é igual a
Em particular, para a área de um losango é a metade do produto do comprimento de suas diagonais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a área do paralelogramo gerado por dois vetores
e
é
e, em particular, que num losango (paralelogramo de lados iguais) essa expressão dá metade do produto das diagonais. Vamos usar a fórmula da área via produto vetorial e as propriedades de bilinearidade e anticomutatividade de
.
Passo 2
Recordamos que a área
do paralelogramo por
e
é
Basta então mostrar que
Passo 3
Expandimos o produto vetorial usando bilinearidade e
:
Como
, fica
Passo 4
Tomando norma,
logo
que é justamente a área do paralelogramo.
Passo 5
No caso de losango temos
, e as diagonais são
e
. Além disso
logo
. Assim
Resposta
Foi demonstrado que
e, para o losango, vale
isto é, metade do produto das diagonais.