Exercício 20. Mostre que a área do paralelogramo determinado pelos vetores V e W é igual a
12|(V+W) times(V-W)|
Em particular, para a área de um losango é a metade do produto do comprimento de suas diagonais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a área do paralelogramo gerado por dois vetores ,V e ,W é
12|(V+W)times(V-W)|
e, em particular, que num losango (paralelogramo de lados iguais) essa expressão dá metade do produto das diagonais. Vamos usar a fórmula da área via produto vetorial e as propriedades de bilinearidade e anticomutatividade de times.

Passo 2

Recordamos que a área A do paralelogramo por ,V e ,W é
A=|,Vtimes W|
Basta então mostrar que
12|(V+W)times(V-W)|=|Vtimes W|

Passo 3

Expandimos o produto vetorial usando bilinearidade e Utimes U=0:
(V+W)times(V-W) =Vtimes V - Vtimes W + Wtimes V - Wtimes W =-,Vtimes W + Wtimes V
Como Wtimes V=-,Vtimes W, fica
(V+W)times(V-W)=-,Vtimes W -,Vtimes W=-2,(Vtimes W)

Passo 4

Tomando norma,
|(V+W)times(V-W)|=|-2,(Vtimes W)|=2,|Vtimes W|,
logo
12|(V+W)times(V-W)|=|Vtimes W|,
que é justamente a área do paralelogramo.

Passo 5

No caso de losango temos |V|=|W|, e as diagonais são d1=V+W e d2=V-W. Além disso
d1cdot d2=(V+W)cdot(V-W)=|V|^2-|W|^2=0,
logo d1perp d2. Assim
A=12|d1times d2| =12,|d1|,|d2|,(1) =12;l(produtot;das;diagonaisr)

Resposta

Foi demonstrado que
área do para<=logramo=12|(V+W)times(V-W)| á
e, para o losango, vale
A=tfrac12;|d1|;|d2|,
isto é, metade do produto das diagonais.

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