1. (1,0 ponto) Determine um vetor normal e um vetor tangente à circunferência x^2+y^2=1 no ponto (-raiz22, raiz22).
    Pauta de correção: Deve-se parametrizar a circunferência para obter o vetor velocidade. O vetor normal deve ser obtido através da ideia de vetor gradiente.

Passo 1

O enunciado pede um vetor tangente e um vetor normal à circunferência
x^2+y^2=1
no ponto
Pl(-tfracraiz22,tfracraiz22r)
Conteúdo usado: “parametrização de curva” para achar a tangente e “gradiente de função implícita” para achar a normal.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência por
r(t) = (cos t,;sin t)
Queremos t0 tal que
cos t0 = -tfracraiz22, sin t0 = tfracraiz22
Esse par de valores corresponde a
t0 = tfrac3pi4

Passo 3

O vetor velocidade r'(t) é tangente à curva. Calculamos
r'(t) = (-sin t,;cos t),
então em t0 = tfrac3pi4 temos
r'l(tfrac3pi4r) = l(-sin(3pi/4),;cos(3pi/4)r) = l(-tfracraiz22,,-tfracraiz22r)
Esse é um vetor tangente à circunferência em P.

Passo 4

Para o vetor normal usamos o gradiente de
F(x,y) = x^2+y^2-1,
pois a curva é dada por F(x,y)=0. O gradiente é
nabla F(x,y) = (2x,;2y)
Em P fica
nabla Fl(-tfracraiz22,tfracraiz22r) = l(2cdot(-tfracraiz22),;2cdottfracraiz22r) = (-raiz2,;raiz2)
Esse vetor é perpendicular à circunferência em P.

Resposta

Vetor tangente: l(-tfracraiz22,,-tfracraiz22r).
Vetor normal: (-raiz2,;raiz2).

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