Determine a reta tangente à curva, no ponto P0 indicado:
(a) l3 x^2+y^2+z=4 -x^2+y^2+z^2=12 ; P0(1,2,-3)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva de interseção de duas superfícies no ponto P0(1,2,-3). O conteúdo é geometria no espaço: cada superfície F(x,y,z)=0 tem vetor normal nabla F, e a direção da curva-interseção é dada por produto vetorial dos dois normais.

Passo 2

Definimos as funções
F(x,y,z)=3x^2+y^2+z-4,
G(x,y,z)=-x^2+y^2+z^2-12
Para cada uma, o vetor normal é nabla F e nabla G. A reta tangente terá direção
v=nabla F(P0)timesnabla G(P0)

Passo 3

Calculamos os gradientes e avaliamos em P0(1,2,-3):
nabla F(x,y,z)=l(6x,,2y,,1r),
nabla F(1,2,-3)=(6cdot1,,2cdot2,,1)=(6,4,1)
nabla G(x,y,z)=l(-2x,,2y,,2zr),
nabla G(1,2,-3)=(-2cdot1,,2cdot2,,2cdot(-3))=(-2,4,-6)

Passo 4

Fazendo o produto vetorial
v=(6,4,1)times(-2,4,-6),
v=l(4cdot(-6)-1cdot4,,-l(6cdot(-6)-1cdot(-2)r),,6cdot4-4cdot(-2)r)
v=(-24-4,,-(-36+2),,24+8)=(-28,34,32)
Podemos simplificar dividindo por 2: v=(-14,17,16).

Passo 5

A equação paramétrica da reta tangente, passando por P0(1,2,-3) e direção v=(-14,17,16), é
ell:;(x,y,z)=(1,2,-3)+t(-14,17,16)

Resposta

ell:;(x,y,z)=(1-14t,;2+17t,;-3+16t)

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