Exercício 17. (Apostol seção 13.18 exercício 1) Uma moeda é jogada duas vezes. A probabilidade de sair cara no primeiro jogo é p1 e no segundo é p2. Considere um experimento estocasticamente independente de jogar a moeda duas vezes. O espaço amostral é
S=H H, H T, T H, T T
em que H é cara e T é coroa.
a) Calcule a probabilidade de cada elemento de S.
b) Podemos escolher p1 e p2 tais que P(H H)=19, P(H T)=P(T H)=29, P(T T)=49 ?
c) Podemos escolher p1 e p2 tais que P(H H)=16, P(H T)=P(T H)=16, P(T T)=16 ?
d) Considere os eventos abaixo. Quais são independentes?
H1 Cara na primeira jogada
H2 Cara na segunda jogada
T1 Coroa na primeira jogada
T2 Coroa na segunda jogada

Passo 1

O enunciado trata de dois lançamentos independentes de uma moeda em que as probabilidades de cara no primeiro e no segundo lançamento são p1 e p2, respectivamente. O espaço amostral é
S=HH,HT,TH,TT
Vamos usar a regra do produto para eventos independentes e depois verificar sistemas de equações para as partes (b) e (c). Na parte (d) vamos aplicar a definição de independência de eventos.

Passo 2

Para qualquer sequência de resultados, a probabilidade é o produto das probabilidades de cada lançamento. Assim:
P(HH)=p1,p2, P(HT)=p1(1-p2), P(TH)=(1-p1)p2, P(TT)=(1-p1)(1-p2)

Passo 3

(b) Queremos
p1p2=tfrac19, p1(1-p2)=tfrac29, (1-p1)p2=tfrac29, (1-p1)(1-p2)=tfrac49
Das duas primeiras equações temos
p1-p1p2=tfrac29;Longrightarrow;p1-tfrac19=tfrac29;Longrightarrow;p1=tfrac13
Então p2=(1/9)/(1/3)=1/3. Substituindo nos demais, obtemos exatamente 2/9 e 4/9. Logo existe solução:
p1=p2=tfrac13

Passo 4

(c) Agora queremos
p1p2=p1(1-p2)=(1-p1)p2=(1-p1)(1-p2)=tfrac16
Das duas primeiras segue p2=1-p2, i.e.\ p2=tfrac12, e então p1(1/2)=1/6 p1=tfrac13. Mas daí (1-p1)p2=(2/3)(1/2)=1/3neq1/6. Além disso as quatro probabilidades somariam 4/6<1. Logo não há escolha de p1,p2 que satisfaça.

Passo 5

(d) Definimos eventos sobre cada jogada:
;H1 =“cara no 1º”,
;T1 =“coroa no 1º”,
;H2 =“cara no 2º”,
;T2 =“coroa no 2º”.
Pela independência dos lançamentos, qualquer evento do primeiro lançamento é independente de qualquer evento do segundo. Assim são independentes os pares:
H1 e H2, H1 e T2, T1 e H2, T1 e T2
Em contrapartida H1 e T1 (assim como H2 e T2) são mutuamente exclusivos e não independentes.

Resposta

(a) P(HH)=p1p2,;P(HT)=p1(1-p2),;P(TH)=(1-p1)p2,;P(TT)=(1-p1)(1-p2)
(b) Sim. Basta escolher p1=p2=tfrac13.
(c) Não. Não existe (p1,p2) que satisfaça todas as quatro probabilidades iguais a tfrac16.
(d) São independentes entre si todos os pares que envolvem eventos de lançamentos diferentes:
H1 com H2,;H1 com T2,;T1 com H2,;T1 com T2
H1 e T1 (e também H2 e T2) não são independentes.

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