Exercício 17. (Apostol seção 13.18 exercício 1) Uma moeda é jogada duas vezes. A probabilidade de sair cara no primeiro jogo é
e no segundo é
. Considere um experimento estocasticamente independente de jogar a moeda duas vezes. O espaço amostral é
em que
é cara e
é coroa.
a) Calcule a probabilidade de cada elemento de
.
b) Podemos escolher
e
tais que
?
c) Podemos escolher
e
tais que
?
d) Considere os eventos abaixo. Quais são independentes?
Cara na primeira jogada
Cara na segunda jogada
Coroa na primeira jogada
Coroa na segunda jogada
a) Calcule a probabilidade de cada elemento de
b) Podemos escolher
c) Podemos escolher
d) Considere os eventos abaixo. Quais são independentes?
Passo 1
O enunciado trata de dois lançamentos independentes de uma moeda em que as probabilidades de cara no primeiro e no segundo lançamento são
e
, respectivamente. O espaço amostral é
Vamos usar a regra do produto para eventos independentes e depois verificar sistemas de equações para as partes (b) e (c). Na parte (d) vamos aplicar a definição de independência de eventos.
Passo 2
Para qualquer sequência de resultados, a probabilidade é o produto das probabilidades de cada lançamento. Assim:
Passo 3
(b) Queremos
Das duas primeiras equações temos
Então
. Substituindo nos demais, obtemos exatamente
e
. Logo existe solução:
Passo 4
(c) Agora queremos
Das duas primeiras segue
, i.e.\
, e então
dá
. Mas daí
. Além disso as quatro probabilidades somariam
. Logo não há escolha de
que satisfaça.
Passo 5
(d) Definimos eventos sobre cada jogada:
“cara no
º”,
“coroa no
º”,
“cara no
º”,
“coroa no
º”.
Pela independência dos lançamentos, qualquer evento do primeiro lançamento é independente de qualquer evento do segundo. Assim são independentes os pares:
Pela independência dos lançamentos, qualquer evento do primeiro lançamento é independente de qualquer evento do segundo. Assim são independentes os pares:
Em contrapartida
e
(assim como
e
) são mutuamente exclusivos e não independentes.
Resposta
(a)
(b) Sim. Basta escolher .
(c) Não. Não existe que satisfaça todas as quatro probabilidades iguais a
.
(d) São independentes entre si todos os pares que envolvem eventos de lançamentos diferentes:
com
com
com
com
Já e
(e também
e
) não são independentes.
(b) Sim. Basta escolher
(c) Não. Não existe
(d) São independentes entre si todos os pares que envolvem eventos de lançamentos diferentes:
Já