Prove que a única solução real para a equação sen
é
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a única solução real da equação
é
.
O conteúdo que vamos usar envolve funções, derivadas e monotonicidade: definiremos uma função cuja raiz corresponda a , calcularemos sua derivada e exploraremos o sinal dessa derivada para concluir unicidade da solução.
O conteúdo que vamos usar envolve funções, derivadas e monotonicidade: definiremos uma função cuja raiz corresponda a
Passo 2
Definimos a função
Então buscar
equivale a achar as raízes de
. Observe que
logo
é de fato uma solução.
Passo 3
Para ver que não há outra raiz em
, considere
Note que
. Como
para todo
, temos
ou seja,
é não decrescente em
. Em particular, para
vale
Se
para algum
, teríamos igualdade em toda essa cadeia, mas isso só ocorre em
. Logo, não há solução positiva.
Passo 4
Para
usamos a paridade da função
:
Do passo anterior sabemos que para
(ou seja,
) temos
. Então
Isso impede
de ser zero em
.
Passo 5
Concluímos que
- em
, e - em
, ,
portanto a única raiz deem é .
Resposta
A única solução real da equação
é