Prove que a única solução real para a equação sen x=x é x=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a única solução real da equação
sin x = x
é x=0.
O conteúdo que vamos usar envolve funções, derivadas e monotonicidade: definiremos uma função cuja raiz corresponda a sin x = x, calcularemos sua derivada e exploraremos o sinal dessa derivada para concluir unicidade da solução.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = sin x - x
Então buscar sin x = x equivale a achar as raízes de f. Observe que
f(0) = sin 0 - 0 = 0,
logo x=0 é de fato uma solução.

Passo 3

Para ver que não há outra raiz em x>0, considere
g(x) = x - sin x
Note que g'(x) = 1 - cos x. Como cos x <= 1 para todo x, temos
g'(x) = 1 - cos x >= 0,
ou seja, g é não decrescente em R. Em particular, para x>0 vale
g(x)>= g(0)=0 Longrightarrow x - sin x >= 0 Longrightarrow sin x <= x
Se sin x = x para algum x>0, teríamos igualdade em toda essa cadeia, mas isso só ocorre em x=0. Logo, não há solução positiva.

Passo 4

Para x<0 usamos a paridade da função f:
f(-x) = sin(-x) - (-x) = -sin x + x = -f(x)
Do passo anterior sabemos que para -x>0 (ou seja, x<0) temos f(-x)<0. Então
f(-x)<0 Longrightarrow -f(x)<0 Longrightarrow f(x)>0
Isso impede f(x) de ser zero em x<0.

Passo 5

Concluímos que
  • em x>0, f(x)<0 e
  • em x<0, f(x)>0,
    portanto a única raiz de f(x)=0 em R é x=0.

Resposta

A única solução real da equação sin x = x é
boxedx = 0

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