Exercício 16. (Apostol seção 13.14 exercício 10) Se dois eventos A e B são independentes com probabilidade não nulas e diferentes de um, mostre que A^c e B^c são independentes.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são eventos independentes com 0< P(A)<1 e 0< P(B)<1. Isso significa, por definição, que
P(Acap B)=P(A),P(B)
Queremos mostrar que A^c e B^c também satisfazem
P(A^ccap B^c)=P(A^c),P(B^c),
ou seja, que são independentes.

Passo 2

Usamos a Lei de De Morgan e a fórmula da probabilidade da união:
A^ccap B^c=(Acup B)^c Longrightarrow P(A^ccap B^c)=1-P(Acup B)
Pela inclusão-exclusão,
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)
Como A e B são independentes, P(Acap B)=P(A)P(B). Logo,
P(A^ccap B^c) =1-l[P(A)+P(B)-P(A)P(B)r] =1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)

Passo 3

Fatorando o resultado,
1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) =(1-P(A)),(1-P(B)) =P(A^c),P(B^c)
Portanto chegamos a
P(A^ccap B^c)=P(A^c),P(B^c),
que é exatamente a condição de independência de A^c e B^c.

Resposta

Portanto, A^c e B^c são independentes.

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