Exercício 16. (Apostol seção 13.14 exercício 10) Se dois eventos
e
são independentes com probabilidade não nulas e diferentes de um, mostre que
e
são independentes.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são eventos independentes com
e
. Isso significa, por definição, que
Queremos mostrar que
e
também satisfazem
ou seja, que são independentes.
Passo 2
Usamos a Lei de De Morgan e a fórmula da probabilidade da união:
Pela inclusão-exclusão,
Como
e
são independentes,
. Logo,
Passo 3
Fatorando o resultado,
Portanto chegamos a
que é exatamente a condição de independência de
e
.
Resposta
Portanto,
e
são independentes.