Determine a reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscisca x_{0} indicado.
y=\frac{e^{x}}{1+x^{2}}, \quad x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
y = \frac{e^x}{1+x^2}
no ponto cuja abscissa é x_{0}=1. Para isso vamos precisar de:
  1. O valor da função em x_{0}, isto é y_{0}=f(1).
  2. A derivada f'(x) para obter o coeficiente angular m=f'(1).
  3. A fórmula da reta tangente em ponto dado:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}).

Passo 2

Calculamos o ponto de tangência (x_{0},y_{0}). Como
y_{0}=f(1)=\frac{e^1}{1+1^2}=\frac{e}{2}\,,
o ponto é \bigl(1,\frac{e}{2}\bigr).

Passo 3

Vamos achar a derivada f'(x) por regra do quociente: se
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\quad\text{então}\quad f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.ã
Aqui u(x)=e^x e v(x)=1+x^2. Então
u'(x)=e^x,\quad v'(x)=2x,
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f'(x) =\frac{e^x\,(1+x^2)-e^x\,(2x)}{(1+x^2)^2} =\frac{e^x\,(1+x^2-2x)}{(1+x^2)^2}\,.

Passo 4

Agora avaliamos em x=1:
f'(1) =\frac{e^1\,(1+1^2-2\cdot1)}{(1+1^2)^2} =\frac{e\,(1+1-2)}{(1+1)^2} =\frac{e\cdot0}{4} =0.
Portanto o coeficiente angular da tangente é m=0.

Passo 5

A reta tangente em \bigl(1,\tfrac{e}{2}\bigr) com m=0 é
y - \frac{e}{2} = 0\,(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{e}{2}.

Resposta

A reta tangente é
y = \frac{e}{2}.

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