Seja f(x)=\operatorname{sen}(2 x). Ache todos os valores de x \in[0,2 \pi] tais que f^{\prime}(x)=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sin(2x)
e pede todos os x\in[0,2\pi] tais que f'(x)=0.
O conteúdo principal aqui é derivar uma função composta usando a regra da cadeia e depois resolver a equação trigonométrica resultante.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f(x) aplicando a regra da cadeia. Primeiro, a derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u) e a derivada de 2x em relação a x é 2. Logo,
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[\sin(2x)\bigr] = \cos(2x)\,\cdot 2 = 2\cos(2x).

Passo 3

Impondo f'(x)=0, temos
2\cos(2x)=0 \;\Longrightarrow\; \cos(2x)=0.
A solução geral de \cos(\theta)=0 é
\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.
Aqui \theta=2x, então
2x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Despejando x,
x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k\in\mathbb{Z}.
Para ficar em [0,2\pi], testamos valores inteiros de k:
  • k=0\implies x=\tfrac{\pi}{4}
  • k=1\implies x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{3\pi}{4}
  • k=2\implies x=\tfrac{\pi}{4}+\pi=\tfrac{5\pi}{4}
  • k=3\implies x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{7\pi}{4}
  • Para k=4 ou k<0 os valores saem de [0,2\pi].

Resposta

x = \frac{\pi}{4},\;\frac{3\pi}{4},\;\frac{5\pi}{4},\;\frac{7\pi}{4}.

Exercícios relacionados