Sejam alpha e beta constantes reais, u e v campos escalares e F e G campos vetoriais diferenciais. Usando regras de derivação, deduza a seguinte relação do cálculo diferencial: div(rot(F))=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa demonstrar que a divergência do rotacional de um campo vetorial F é sempre zero, ou seja, div(rot(F))=0. Isso faz parte do cálculo vetorial, especificamente envolvendo operações de divergência e rotacional em campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada operação significa. A divergência de um campo vetorial mede o quanto ele “diverge” de um ponto, enquanto o rotacional (ou rotacional) mede a tendência de rotação do campo ao redor de um ponto. Nosso objetivo é aplicar essas definições para mostrar que aplicar a divergência no rotacional de qualquer campo vetorial F sempre resulta em zero.

Passo 3

Vamos trabalhar em coordenadas cartesianas para facilitar. Seja o campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz), onde Fx, Fy e Fz são as componentes de F nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos o rotacional de F:
rot(F) = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Isso nos dá um novo campo vetorial.

Passo 5

Agora, vamos calcular a divergência desse rotacional:
div(rot(F)) = partialpartial x( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) + partialpartial y( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) + partialpartial z( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )

Passo 6

Vamos expandir cada termo:
partial^2 Fzpartial x partial y - partial^2 Fypartial x partial z + partial^2 Fxpartial y partial z - partial^2 Fzpartial y partial x + partial^2 Fypartial z partial x - partial^2 Fxpartial z partial y

Passo 7

Observamos que, devido à igualdade das derivadas mistas (desde que as funções sejam suficientemente suaves):
partial^2 Fzpartial x partial y = partial^2 Fzpartial y partial x, partial^2 Fypartial x partial z = partial^2 Fypartial z partial x, partial^2 Fxpartial y partial z = partial^2 Fxpartial z partial y
Isso faz com que todos os termos se cancelem mutuamente.

Passo 8

Portanto, a soma de todos esses termos é zero:
div(rot(F)) = 0

Resposta

div(rot(F)) = 0

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