Sejam
e
constantes reais,
e
campos escalares e
campos vetoriais diferenciais. Usando regras de derivação, deduza a seguinte relação do cálculo diferencial:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa demonstrar que a divergência do rotacional de um campo vetorial
é sempre zero, ou seja,
. Isso faz parte do cálculo vetorial, especificamente envolvendo operações de divergência e rotacional em campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada operação significa. A divergência de um campo vetorial mede o quanto ele “diverge” de um ponto, enquanto o rotacional (ou rotacional) mede a tendência de rotação do campo ao redor de um ponto. Nosso objetivo é aplicar essas definições para mostrar que aplicar a divergência no rotacional de qualquer campo vetorial
sempre resulta em zero.
Passo 3
Vamos trabalhar em coordenadas cartesianas para facilitar. Seja o campo vetorial
, onde
,
e
são as componentes de
nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos o rotacional de
:
Isso nos dá um novo campo vetorial.
Passo 5
Agora, vamos calcular a divergência desse rotacional:
Passo 6
Vamos expandir cada termo:
Passo 7
Observamos que, devido à igualdade das derivadas mistas (desde que as funções sejam suficientemente suaves):
Isso faz com que todos os termos se cancelem mutuamente.
Passo 8
Portanto, a soma de todos esses termos é zero: