Verifique que
e determine todos os campos de vetores
, tais que
.
.
Passo 1
Beleza! O exercício pede pra gente verificar que a divergente de
é zero e também encontrar todos os campos vetores
que satisfazem
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente e rotacional, além de entender como encontrar potenciais para campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergente de
. A divergente de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Vamos calcular
. Usando a regra da derivada para funções racionais:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Somando as duas derivadas parciais para encontrar a divergente:
Então, de fato,
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar todos os campos vetores
tais que
. Sabemos que, se
, então existe um campo vetor
tal que
.
Além disso, todos os possíveis
podem ser expressos como uma solução particular mais o gradiente de uma função escalar arbitrária
, já que o rotacional do gradiente é sempre zero:
Passo 7
Vamos encontrar uma solução particular
. Observando a forma de
, percebemos que ele se assemelha ao rotacional de um campo rotacionalmente simétrico. Uma escolha comum é usar coordenadas polares, mas vamos trabalhar diretamente em coordenadas cartesianas para simplificar.
Uma solução particular pode ser:
Vamos verificar se
:
Passo 8
Então, a solução geral para
é:
Onde
é uma função escalar arbitrária, definida em
.
Resposta
Todos os campos vetores
que satisfazem
são dados por:
Onde
é uma função escalar arbitrária definida para
.