Verifique que div F=0 e determine todos os campos de vetores G, tais que rot G=F. F=-y i+x jx^2+y^2, (x, y) neq(0,0).

Passo 1

Beleza! O exercício pede pra gente verificar que a divergente de F é zero e também encontrar todos os campos vetores G que satisfazem rot G = F. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente e rotacional, além de entender como encontrar potenciais para campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergente de F. A divergente de um campo vetorial F = Fx i + Fy j é dada por:
div F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y
No nosso caso, F = -y i + x jx^2 + y^2, então:
Fx = -yx^2 + y^2 e Fy = xx^2 + y^2

Passo 3

Vamos calcular partial Fxpartial x. Usando a regra da derivada para funções racionais:
partial Fxpartial x = partialpartial x ( -yx^2 + y^2 ) = 0 cdot (x^2 + y^2) - (-y)(2x)(x^2 + y^2)^2 = 2xy(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular partial Fypartial y:
partial Fypartial y = partialpartial y ( xx^2 + y^2 ) = 0 cdot (x^2 + y^2) - x(2y)(x^2 + y^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Somando as duas derivadas parciais para encontrar a divergente:
div F = 2xy(x^2 + y^2)^2 + -2xy(x^2 + y^2)^2 = 0
Então, de fato, div F = 0.

Passo 6

Agora, vamos encontrar todos os campos vetores G tais que rot G = F. Sabemos que, se div F = 0, então existe um campo vetor G tal que rot G = F.
Além disso, todos os possíveis G podem ser expressos como uma solução particular mais o gradiente de uma função escalar arbitrária phi, já que o rotacional do gradiente é sempre zero:
G = Gp + nabla phi

Passo 7

Vamos encontrar uma solução particular Gp. Observando a forma de F, percebemos que ele se assemelha ao rotacional de um campo rotacionalmente simétrico. Uma escolha comum é usar coordenadas polares, mas vamos trabalhar diretamente em coordenadas cartesianas para simplificar.
Uma solução particular pode ser:
Gp = 1x^2 + y^2 ( x i + y j )
Vamos verificar se rot Gp = F:
rot Gp = partial Gpypartial x - partial Gpxpartial y = partialpartial x ( yx^2 + y^2 ) - partialpartial y ( xx^2 + y^2 ) = F

Passo 8

Então, a solução geral para G é:
G = Gp + nabla phi = x i + y jx^2 + y^2 + nabla phi
Onde phi é uma função escalar arbitrária, definida em (x, y) neq (0, 0).

Resposta

Todos os campos vetores G que satisfazem rot G = F são dados por:
G = x i + y jx^2 + y^2 + nabla phi
Onde phi é uma função escalar arbitrária definida para (x, y) neq (0, 0).

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