Parametrize as curvas abaixo:
x^2+2 x+y^2+9 y=0

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a curva definida por
x^2+2x+y^2+9y=0
Esse tipo de curva é um círculo; vamos usar completar quadrados (Geometria Analítica) para encontrar seu centro e raio, e depois aplicar a parametrização trigonométrica.

Passo 2

Começamos completando quadrados em x e em y:
x^2+2x=(x+1)^2-1,
y^2+9y=(y+tfrac92)^2-tfrac814
Substituindo na equação original:
(x+1)^2-1+(y+tfrac92)^2-tfrac814=0
ou seja
(x+1)^2+(y+tfrac92)^2=1+tfrac814=tfrac854
Isso mostra que é um círculo de centro (-1,-9/2) e raio r=raiz85/2.

Passo 3

Para parametrizar um círculo de centro (x0,y0) e raio r, usamos
x(t)=x0+rcos t,
y(t)=y0+rsin t,
com tin[0,2pi). Aqui temos x0=-1, y0=-9/2 e r=raiz85/2.

Resposta

As funções que parametrizam a curva são
x(t)=-1+raiz852cos t,
y(t)=-92+raiz852sin t,
com tin[0,2pi).

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