Determine a reta tangente e o plano normal a cada curva no ponto indicado. , no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente e o plano normal à curva dada pela função vetorial no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e equações paramétricas de retas e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de que corresponde ao ponto . A curva é definida por . Igualando cada componente ao ponto dado:
Fica claro que t = 1 satisfaz todas as equações. Então, o ponto P corresponde a t = 1.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial r(t), que nos dá o vetor velocidade ou o vetor tangente à curva em qualquer ponto t:
Esse vetor (1, 3, 4) será a direção da reta tangente.
Passo 4
Com o ponto P(1,1,1) e o vetor diretor (1, 3, 4), podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Lembrando que uma reta no espaço é definida por:
x = x0 + a cdot s y = y0 + b cdot s z = z0 + c cdot s
Onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) é o vetor diretor. Substituindo pelos valores que temos:
x = 1 + 1 cdot s y = 1 + 3 cdot s z = 1 + 4 cdot s
Passo 5
Agora, vamos encontrar o plano normal à curva no ponto P. O plano normal é aquele que é perpendicular ao vetor tangente da curva nesse ponto. A equação geral de um plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) é o vetor normal ao plano, que nesse caso é o mesmo vetor tangente r'(1) = (1, 3, 4), e (x0, y0, z0) é o ponto P(1,1,1).
Substituindo os valores:
1(x - 1) + 3(y - 1) + 4(z - 1) = 0
Expandindo:
x - 1 + 3y - 3 + 4z - 4 = 0 x + 3y + 4z - 8 = 0
Então, a equação do plano normal é:
x + 3y + 4z = 8
Resposta
A reta tangente à curva no ponto P(1,1,1) é definida por:
x = 1 + s y = 1 + 3s z = 1 + 4s
E o plano normal à curva nesse ponto é dado pela equação: