Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
sigma1=(1+t, 2+3 t) e sigma2=(1-t, 3+t^2) t>0
Esboce as curvas que ilustram as estradas por onde os carros passam.

Passo 1

O problema quer o esboço das trajetórias dos dois carros cujas posições são dadas pelos vetores sigma1=(1+t,,2+3t) e sigma2=(1-t,,3+t^2) para t>0. Vamos eliminar o parâmetro em cada caso para obter as equações cartesianas e depois desenhar as curvas respeitando t>0.

Passo 2

No movimento do carro 1, escrevemos x=1+t e y=2+3t. Isolando t=x-1 e substituindo em y, obtemos:
y=3x-1
Como t>0 implica x>1, desenhamos apenas a parte dessa reta para x>1.

Passo 3

No movimento do carro 2, escrevemos x=1-t e y=3+t^2. Isolando t=1-x e substituindo em y, obtemos:
y=(x-1)^2+3
Como t>0 implica x<1, desenhamos apenas o ramo esquerdo dessa parábola, cujo vértice é (1,3).

Passo 4

No esboço final, plotamos no mesmo sistema de eixos:
  • A reta ascendente y=3x-1 iniciando em (1,2) e estendendo-se para a direita ( x>1).
  • O ramo esquerdo da parábola y=(x-1)^2+3 com vértice em (1,3) e estendendo-se para a esquerda ( x<1).
    Marque os pontos (1,2) e (1,3) e indique a direção de crescimento de t em cada curva.

Resposta

A trajetória do carro 1 é a reta y=3x-1 para x>1, e a trajetória do carro 2 é o ramo esquerdo da parábola y=(x-1)^2+3 para x<1.

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