Em cada caso, determine as curvas integrais do campo F. F=x^2 i-y^2 j+z^2 k, que passa no ponto P(1 / 2,-1 / 2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial F = x^2 i - y^2 j + z^2 k. A pergunta é: quais são as curvas integrais desse campo que passam pelo ponto P(1/2, -1/2, 1)? Ou seja, queremos encontrar as trajetórias que uma partícula seguiria se estivesse se movendo nesse campo, começando nesse ponto específico.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente de campos vetoriais e curvas integrais. Vamos precisar resolver um sistema de equações diferenciais para encontrar as equações paramétricas da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva integral. Uma curva integral de um campo vetorial F é uma curva cuja derivada em relação a um parâmetro (geralmente tempo, t) é igual ao campo vetorial nesse ponto. Em termos matemáticos, se a curva é dada por (x(t), y(t), z(t)), então:
dxdt = Fx = x^2
dydt = Fy = -y^2
dzdt = Fz = z^2
Essas são as equações diferenciais que precisamos resolver para encontrar as funções x(t), y(t) e z(t) que descrevem a curva integral.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação para x(t):
dxdt = x^2
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos rearranjar os termos para separar as variáveis x e t:
dxx^2 = dt
Integrando ambos os lados:
integral dxx^2 = integral dt
- 1x = t + C1
Agora, resolvemos para x:
x(t) = -1t + C1
Vamos usar a condição inicial x(0) = 12 para encontrar C1:
12 = -10 + C1 Rightarrow C1 = -2
Portanto, a solução para x(t) é:
x(t) = -1t - 2 = 12 - t

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para y(t):
dydt = -y^2
Novamente, essa é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis:
dyy^2 = -dt
Integrando ambos os lados:
integral dyy^2 = -integral dt
- 1y = -t + C2
Resolvendo para y:
y(t) = 1t + C2
Usando a condição inicial y(0) = -12 para encontrar C2:
-12 = 10 + C2 Rightarrow C2 = -2
Portanto, a solução para y(t) é:
y(t) = 1t - 2 = -12 - t

Passo 5

Por fim, vamos resolver a equação para z(t):
dzdt = z^2
Mais uma vez, é uma equação diferenciável separável. Separamos as variáveis:
dzz^2 = dt
Integrando ambos os lados:
integral dzz^2 = integral dt
- 1z = t + C3
Resolvendo para z:
z(t) = -1t + C3
Usamos a condição inicial z(0) = 1 para encontrar C3:
1 = -10 + C3 Rightarrow C3 = -1
Portanto, a solução para z(t) é:
z(t) = -1t - 1 = 11 - t

Resposta

As curvas integrais do campo F que passam pelo ponto P(1/2, -1/2, 1) são dadas pelas equações paramétricas:
x(t) = 12 - t, y(t) = -12 - t, z(t) = 11 - t

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