Determine os valores máximos e mínimos locais e os ponto(s) de sela da função.
f(x, y)=x^2+y^2+4 x-6 y

Passo 1

Na questão, a gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela da função f(x,y)=x^2+y^2+4x-6y. Para isso, vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos e depois o teste do Hessiano para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x+4,
partial fpartial y=2y-6
Igualando a zero, temos
2x+4=0implies x=-2,
2y-6=0implies y=3
Então existe um único ponto crítico em (-2,3).

Passo 3

Agora formamos o Hessiano, que é a matriz das segundas derivadas:
H= partial^2fpartial x^2 & partial^2fpartial xpartial y partial^2fpartial ypartial x & partial^2fpartial y^2 =2 & 00 & 2
Para classificar, olhamos os determinantes principais: D1=2>0 e D2=det(H)=4>0. Se ambos são positivos, o Hessiano é definido positivo.

Passo 4

Quando o Hessiano é definido positivo em um ponto crítico, esse ponto é um mínimo local. Logo, (-2,3) é mínimo local. Não há nenhum ponto com Hessiano definido negativo (máximo local) nem indefinido (sela).

Passo 5

Falta só achar o valor de f nesse mínimo. Calculando:
f(-2,3)=(-2)^2+3^2+4(-2)-6(3)=4+9-8-18=-13

Resposta

A função não possui máximo local nem ponto de sela. Possui um mínimo local (e global) em (-2,3) com valor f(-2,3)=−13.

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