Determine os valores máximos e mínimos locais e os ponto(s) de sela da função.
Passo 1
Na questão, a gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela da função . Para isso, vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos e depois o teste do Hessiano para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Igualando a zero, temos
Então existe um único ponto crítico em .
Passo 3
Agora formamos o Hessiano, que é a matriz das segundas derivadas:
Para classificar, olhamos os determinantes principais: D1=2>0 e D2=det(H)=4>0. Se ambos são positivos, o Hessiano é definido positivo.
Passo 4
Quando o Hessiano é definido positivo em um ponto crítico, esse ponto é um mínimo local. Logo, (-2,3) é mínimo local. Não há nenhum ponto com Hessiano definido negativo (máximo local) nem indefinido (sela).
Passo 5
Falta só achar o valor de f nesse mínimo. Calculando:
f(-2,3)=(-2)^2+3^2+4(-2)-6(3)=4+9-8-18=-13
Resposta
A função não possui máximo local nem ponto de sela. Possui um mínimo local (e global) em (-2,3) com valor f(-2,3)=−13.