Determine o retângulo de área máxima inscrito num semicírculo, de forma que um de seus lados esteja sobre o diâmetro.
Passo 1
O enunciado pede para achar o retângulo de área máxima inscrito num semicírculo de raio
, com um lado sobre o diâmetro. O conteúdo aqui é otimização de função usando derivadas, e vamos precisar da equação do círculo e da técnica de derivação para encontrar máximos.
Passo 2
Seja o retângulo de base
(simétrico em relação ao centro) e altura
. Como ele está inscrito num semicírculo de raio
, os vértices superiores satisfazem
. Logo, podemos escrever
A área do retângulo em função de
Passo 3
Para encontrar o máximo, calculamos a derivada
. Usando regra do produto e cadeia,
Igualando a zero para achar ponto crítico:
Passo 4
Da equação
obtemos
$$x=\frac{R}{\sqrt2}.
$$
Passo 5
Para confirmar que esse ponto é máximo, notamos que
e
, e a área cresce até
e depois decresce, caracterizando um máximo.
Passo 6
Logo, o retângulo de maior área tem base
, altura
e área máxima
.
Resposta
O retângulo de maior área tem base
, altura
e área máxima
.