Determine o retângulo de área máxima inscrito num semicírculo, de forma que um de seus lados esteja sobre o diâmetro.

Passo 1

O enunciado pede para achar o retângulo de área máxima inscrito num semicírculo de raio R, com um lado sobre o diâmetro. O conteúdo aqui é otimização de função usando derivadas, e vamos precisar da equação do círculo e da técnica de derivação para encontrar máximos.

Passo 2

Seja o retângulo de base 2x (simétrico em relação ao centro) e altura y. Como ele está inscrito num semicírculo de raio R, os vértices superiores satisfazem x^2+y^2=R^2. Logo, podemos escrever
y=raizR^2-x^2
A área do retângulo em função de x é
A(x)=l(2xr),y=2xraizR^2-x^2.

Passo 3

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada A'(x). Usando regra do produto e cadeia,
A'(x)=2raizR^2-x^2+2xcdot-xraizR^2-x^2 =2raizR^2-x^2-2x^2raizR^2-x^2
Igualando a zero para achar ponto crítico:
2l(R^2-x^2r)-2x^2=0Longrightarrow R^2-2x^2=0

Passo 4

Da equação R^2-2x^2=0 obtemos
$$x=\frac{R}{\sqrt2}.
x=Rraiz2 y=\sqrt{R2-\frac{R2}{2}}=\frac{R}{\sqrt2}.
$$

Passo 5

Para confirmar que esse ponto é máximo, notamos que A(0)=0 e A(R)=0, e a área cresce até x=R/raiz2 e depois decresce, caracterizando um máximo.

Passo 6

Logo, o retângulo de maior área tem base 2x=raiz2,R, altura y=R/raiz2 e área máxima Amax=R^2.

Resposta

O retângulo de maior área tem base raiz2,R, altura R/raiz2 e área máxima R^2.

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