Determine as posições relativas das retas r e os planos \pi abaixo. Obtenha seu ponto comum (se existir) e seu ângulo : r: x-3=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{4} e \pi: x=5-2 p, y=1-p+4 q, z=2+p-2 q
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
Determinar a posição relativa entre a reta r e o plano \pi (se são paralelos, concorrentes, coincidentes, perpendicular etc.).
Obter o ponto comum entre r e \pi, caso exista.
Calcular o ângulo entre r e \pi.
Informações fornecidas:
Reta r dada em forma simétrica: x-3=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-2}{4}.
Plano \pi dado em forma paramétrica com parâmetros p,q:
x=5-2p,\qquad y=1-p+4q,\qquad z=2+p-2q.
Passo 2
Primeiro passo prático: converter a reta r para forma paramétrica com um parâmetro t. Tomando x-3=t obtemos:
x=3+t,\qquad y=2+2t,\qquad z=2+4t.
Dessa forma vemos claramente:
Um ponto da reta (quando t=0) é A=(3,2,2).
Um vetor diretor da reta é \vec v=(1,2,4) (as componentes que multiplicam t).
Explicação didática curta: na forma simétrica x-x_0=\dfrac{y-y_0}{a}=\dfrac{z-z_0}{b} pode-se tomar esse valor comum como parâmetro t, obtendo x=x_0+t,\; y=y_0+at,\; z=z_0+bt. O vetor diretor é (1,a,b) quando escolhemos t assim.
Passo 3
Extrair dados do plano \pi na forma paramétrica. Tomando p,q como parâmetros, um ponto do plano (quando p=0,q=0) é
P_0=(5,1,2).
Os vetores de direção (geradores) do plano são as derivadas em relação a p e a q:
Esses dois vetores geram o plano (qualquer ponto do plano se obtém somando P_0 a combinações lineares de \vec u_1 e \vec u_2).
Passo 4
Calcular o vetor normal \vec n do plano como o produto vetorial \vec u_1\times\vec u_2. Lembrete: o produto vetorial de (a_1,a_2,a_3) por (b_1,b_2,b_3) é dado por
Observação: \vec n pode ser fatorado como \vec n=-2(1,2,4). Note que o vetor diretor da reta é \vec v=(1,2,4). Assim:
\vec n = -2\,\vec v.
Ou seja, \vec v é paralelo a \vec n.
Passo 5
Interpretação geométrica: se o vetor diretor da reta \vec v é paralelo ao vetor normal \vec n do plano, então a reta é perpendicular ao plano. Explicação curta: o vetor normal é, por definição, perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano; se \vec v é paralelo a \vec n, então \vec v é perpendicular a todo vetor do plano, logo a reta com direção \vec v é perpendicular ao plano.
Portanto, já sabemos a posição relativa: a reta r é perpendicular ao plano \pi.
Passo 6
Agora obter o ponto de interseção resolvendo as equações paramétricas simultaneamente. Igualamos as coordenadas da reta (com parâmetro t) às do plano (com parâmetros p,q):
Portanto \sin\theta=1, o que implica \theta=90^\circ (ou \theta=\dfrac{\pi}{2} radianos).
Observação alternativa e rápida: já que \vec v é paralelo a \vec n, o ângulo entre \vec v e \vec n é 0^\circ, logo o ângulo entre a reta e o plano (complemento) é 90^\circ.
Resposta
A reta r é perpendicular ao plano \pi.
Ponto comum: (3,2,2).
Ângulo entre r e \pi: 90^\circ (ou \dfrac{\pi}{2}).