Determine as posições relativas das retas r e os planos \pi abaixo. Obtenha seu ponto comum (se existir) e seu ângulo :
r: x-3=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{4} e \pi: x=5-2 p, y=1-p+4 q, z=2+p-2 q

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Determinar a posição relativa entre a reta r e o plano \pi (se são paralelos, concorrentes, coincidentes, perpendicular etc.).
  • Obter o ponto comum entre r e \pi, caso exista.
  • Calcular o ângulo entre r e \pi.
Informações fornecidas:
  • Reta r dada em forma simétrica: x-3=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-2}{4}.
  • Plano \pi dado em forma paramétrica com parâmetros p,q:
x=5-2p,\qquad y=1-p+4q,\qquad z=2+p-2q.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a reta r para forma paramétrica com um parâmetro t. Tomando x-3=t obtemos:
x=3+t,\qquad y=2+2t,\qquad z=2+4t.
Dessa forma vemos claramente:
  • Um ponto da reta (quando t=0) é A=(3,2,2).
  • Um vetor diretor da reta é \vec v=(1,2,4) (as componentes que multiplicam t).
Explicação didática curta: na forma simétrica x-x_0=\dfrac{y-y_0}{a}=\dfrac{z-z_0}{b} pode-se tomar esse valor comum como parâmetro t, obtendo x=x_0+t,\; y=y_0+at,\; z=z_0+bt. O vetor diretor é (1,a,b) quando escolhemos t assim.

Passo 3

Extrair dados do plano \pi na forma paramétrica. Tomando p,q como parâmetros, um ponto do plano (quando p=0,q=0) é
P_0=(5,1,2).
Os vetores de direção (geradores) do plano são as derivadas em relação a p e a q:
\vec u_1=\frac{\partial}{\partial p}(x,y,z)=(-2,-1,1), \qquad \vec u_2=\frac{\partial}{\partial q}(x,y,z)=(0,4,-2).
Esses dois vetores geram o plano (qualquer ponto do plano se obtém somando P_0 a combinações lineares de \vec u_1 e \vec u_2).

Passo 4

Calcular o vetor normal \vec n do plano como o produto vetorial \vec u_1\times\vec u_2. Lembrete: o produto vetorial de (a_1,a_2,a_3) por (b_1,b_2,b_3) é dado por
(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1).
Aplicando a \vec u_1 e \vec u_2:
\vec n=\vec u_1\times\vec u_2 =((-1)(-2)-1\cdot4,\; 1\cdot0-(-2)(-2),\; (-2)\cdot4-(-1)\cdot0).
Calculando cada componente:
\vec n =(-2,\;-4,\;-8).
Observação: \vec n pode ser fatorado como \vec n=-2(1,2,4). Note que o vetor diretor da reta é \vec v=(1,2,4). Assim:
\vec n = -2\,\vec v.
Ou seja, \vec v é paralelo a \vec n.

Passo 5

Interpretação geométrica: se o vetor diretor da reta \vec v é paralelo ao vetor normal \vec n do plano, então a reta é perpendicular ao plano. Explicação curta: o vetor normal é, por definição, perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano; se \vec v é paralelo a \vec n, então \vec v é perpendicular a todo vetor do plano, logo a reta com direção \vec v é perpendicular ao plano.
Portanto, já sabemos a posição relativa: a reta r é perpendicular ao plano \pi.

Passo 6

Agora obter o ponto de interseção resolvendo as equações paramétricas simultaneamente. Igualamos as coordenadas da reta (com parâmetro t) às do plano (com parâmetros p,q):
3+t = 5-2p, \qquad 2+2t = 1-p+4q, \qquad 2+4t = 2+p-2q.
Da primeira equação isolamos t:
t = 2-2p.
Substituindo esse t nas outras duas equações:
Na segunda:
2+2(2-2p)=1-p+4q \quad\Rightarrow\quad 6-4p=1-p+4q
que simplifica para
3p+4q=5. \tag{E1}
Na terceira:
2+4(2-2p)=2+p-2q \quad\Rightarrow\quad 10-8p=2+p-2q
que simplifica para
9p-2q=8. \tag{E2}
Resolver o sistema linear formado por (E1) e (E2). Da (E1) temos 4q=5-3p, ou q=\dfrac{5-3p}{4}. Substituindo em (E2):
9p-2\cdot\frac{5-3p}{4}=8.
Multiplicando por 4:
36p-(10-6p)=32 \quad\Rightarrow\quad 36p-10+6p=32 \quad\Rightarrow\quad 42p=42,
logo p=1. Então q=\dfrac{5-3\cdot1}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. E t=2-2p=2-2=0.
Assim o parâmetro da reta é t=0, que corresponde ao ponto A já identificado:
A=(3,2,2).
Verificação: ao colocar p=1,q=\tfrac{1}{2} nas equações paramétricas do plano obtém-se x=3,y=2,z=2, confirmando que esse ponto pertence ao plano.

Passo 7

Calcular o ângulo entre a reta e o plano. Fórmula e interpretação:
  • O ângulo \theta entre a reta e o plano é o complemento do ângulo entre o vetor diretor da reta \vec v e o vetor normal \vec n do plano.
  • Uma forma prática de obter \theta é usar
\sin\theta=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{\|\vec v\|\,\|\vec n\|},
porque \sin\theta=\cos(ângulo;entre; \vec v e \vec n) e \cos do ângulo entre \vec v e \vec n é \dfrac{\vec v\cdot\vec n}{\|\vec v\|\|\vec n\|}.
Calculemos:
\vec v\cdot\vec n = (1,2,4)\cdot(-2,-4,-8) = -2 -8 -32 = -42.
Normas:
\|\vec v\|=\sqrt{1^2+2^2+4^2}=\sqrt{21},\qquad \|\vec n\|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+(-8)^2}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}.
Logo
\sin\theta=\frac{|\,-42\,|}{\sqrt{21}\cdot 2\sqrt{21}}=\frac{42}{2\cdot 21}=1.
Portanto \sin\theta=1, o que implica \theta=90^\circ (ou \theta=\dfrac{\pi}{2} radianos).
Observação alternativa e rápida: já que \vec v é paralelo a \vec n, o ângulo entre \vec v e \vec n é 0^\circ, logo o ângulo entre a reta e o plano (complemento) é 90^\circ.

Resposta

A reta r é perpendicular ao plano \pi.
Ponto comum: (3,2,2).
Ângulo entre r e \pi: 90^\circ (ou \dfrac{\pi}{2}).

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