Determine as retas contidam em o hiperboloide de uma folha S: x^2+4 y^2-z^2=4 que passa pelo ponto P=(2,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercícião juntos! A questão pede para a gente encontrar as retas que estão dentro do hiperboloide de uma folha definido por $ \mathcal{S}: x^{2} + 4 y^{2} - z^{2} = 4 $ e que passam pelo ponto $ P = (2, 0, 0) $.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quádricas e suas retas. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do hiperboloide de uma folha: $ x^{2} + 4 y^{2} - z^{2} = 4 $. Esse tipo de superfície possui duas direções principais onde podemos encontrar retas que ficam totalmente contidas nela.
Nos hiperboloides de uma folha, as retas que estão contidas na superfície são chamadas de geratrizes. Elas têm uma direção específica que as mantém dentro da superfície.

Passo 3

Agora, queremos encontrar essas retas que passam pelo ponto $ P = (2, 0, 0) $. Para isso, vamos supor que a reta tem uma direção vetorial $ \vec{d} = (a, b, c) $ e passa por $ P $. A equação paramétrica da reta fica:
P = (2, 0, 0)
Com $ t $ sendo o parâmetro.

Passo 4

Essa reta deve satisfazer a equação do hiperboloide para todo valor de $ t $. Então, vamos substituir as expressões paramétricas na equação do hiperboloide:
t
Vamos expandir e simplificar:
(2 + a t)^2 + 4 (b t)^2 - (c t)^2 = 4

Passo 5

Agora, para que a igualdade seja válida para todo $ t $, os coeficientes de $ t $ e $ t^{2} $ devem ser iguais a zero:
  1. Coeficiente linear ($ t $):
t
  1. Coeficiente quadrático ($ t^{2} $):
t
Como $ a = 0 $, a segunda equação fica:
t^2

Passo 6

Então, a direção da reta $ \vec{d} = (0, b, \pm 2 b) $. Podemos fatorar o $ b $:
d = (0, b, pm 2 b)
Como a direção pode ser qualquer múltiplo, podemos escolher $ b = 1 $ para simplificar:
b

Passo 7

Agora, temos duas possíveis direções para as retas:
  1. $ \vec{d}_1 = (0, 1, 2) $
  2. $ \vec{d}_2 = (0, 1, -2) $
Vamos escrever as equações paramétricas de cada uma delas passando por $ P = (2, 0, 0) $:
Para $ \vec{d}_1 $:
d1 = (0, 1, 2)
Para $ \vec{d}_2 $:
d2 = (0, 1, -2)

Resposta

As retas contidas no hiperboloide $ \mathcal{S}: x^{2} + 4 y^{2} - z^{2} = 4 $ que passam pelo ponto $ P = (2, 0, 0) $ são:
  1. $ S: x^2 + 4 y^2 - z^2 = 4 $
  2. $ P = (2, 0, 0) $
Onde $ t $ é um parâmetro real.

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