Se
converge e
diverge, o que se pode dizer a respeito da série
? Justifique sua resposta!
Passo 1
O enunciado diz que a série
converge e
diverge. O que a gente quer é saber o que acontece com
. O conteúdo principal aqui é a linearidade das séries (se duas séries convergem, a soma delas converge; e podemos subtrair séries convergentes).
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
também convergisse. Como
converge, podemos usar a propriedade de subtração de séries convergentes para escrever:
Mas isso implica que
convergiria (diferença de duas séries convergentes), o que contradiz a hipótese de que ela diverge.
Passo 3
Como assumir que
converge leva a uma contradição, concluímos que
não pode convergir. Portanto, essa série diverge.
Resposta
A série
diverge.