Se sumn=1^+infty an converge e sumn=1^+infty bn diverge, o que se pode dizer a respeito da série sumn=1^+infty(an+bn) ? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado diz que a série sumn=1^inftyan converge e sumn=1^inftybn diverge. O que a gente quer é saber o que acontece com sumn=1^infty(an+bn). O conteúdo principal aqui é a linearidade das séries (se duas séries convergem, a soma delas converge; e podemos subtrair séries convergentes).

Passo 2

Suponha, por absurdo, que sumn=1^infty(an+bn) também convergisse. Como sum an converge, podemos usar a propriedade de subtração de séries convergentes para escrever:
sumn=1^inftybn = sumn=1^inftyl((an+bn)-anr) = sumn=1^infty(an+bn) - sumn=1^inftyan
Mas isso implica que sum bn convergiria (diferença de duas séries convergentes), o que contradiz a hipótese de que ela diverge.

Passo 3

Como assumir que sum(an+bn) converge leva a uma contradição, concluímos que sumn=1^infty(an+bn) não pode convergir. Portanto, essa série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty(an+bn) diverge.

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