Determine se as retas r_{1} e r_{2} são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=-t \\\ y=2+\frac{3}{2} t\end{array}, t \in \mathbb{R}, \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=4+4 s \\\ y=2-6 s\end{array}, s \in \mathbb{R}\right.)

Passo 1

O enunciado dá duas retas paramétricas e pede para decidir se são paralelas, coincidentes ou concorrentes; se forem concorrentes, determinar o ponto de interseção. As retas fornecidas são:
r_{1}:\begin{cases}x=-t\\[4pt] y=2+\tfrac{3}{2}t\end{cases},\\ t\in\mathbb{R}, \qquad r_{2}:\begin{cases}x=4+4s\\[4pt] y=2-6s\end{cases},\\ s\in\mathbb{R}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equações paramétricas de r_{1} e r_{2}.
  • Os parâmetros são t para r_{1} e s para r_{2}.
    O que se pede explicitamente:
  • Determinar se r_{1} e r_{2} são paralelas, coincidentes ou concorrentes.
  • Se forem concorrentes, fornecer o ponto de interseção.]

Passo 2

Escrevendo cada reta na forma ponto + parâmetro·vetor-diretor para visualizar melhor:
  • Para r_{1}, ao tomar t=0 obtemos o ponto P_{1}=(0,2). A forma vetorial é
(x,y) = (0,2) + t\cdot(-1,\tfrac{3}{2}).
Logo o vetor diretor de r_{1} é \mathbf{v}_{1}=(-1,\tfrac{3}{2}).
  • Para r_{2}, ao tomar s=0 obtemos o ponto P_{2}=(4,2). A forma vetorial é
(x,y) = (4,2) + s\cdot(4,-6).
Logo o vetor diretor de r_{2} é \mathbf{v}_{2}=(4,-6).
Explicação rápida (para lembrar na prova): representação paramétrica de uma reta em \mathbb{R}^2 pode sempre ser vista como um ponto na reta mais um parâmetro multiplicando um vetor diretor; esse vetor diretor indica a direção da reta.

Passo 3

Verificar se os vetores diretores são proporcionais (condição de paralelismo).
Procuramos k\in\mathbb{R} tal que \mathbf{v}_{2}=k\,\mathbf{v}_{1}. Das componentes:
4 = k\cdot(-1)\quad\Rightarrow\quad k=-4.
Verificando a segunda componente com k=-4:
-6 \stackrel{?}{=} -4\cdot\frac{3}{2} = -4\cdot\frac{3}{2} = -6,
a igualdade é verdadeira. Portanto \mathbf{v}_{2} = -4\,\mathbf{v}_{1}, ou seja, \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} são proporcionais.
Conclusão desta etapa: as retas têm direções paralelas. Assim, r_{1} e r_{2} são paralelas ou coincidentes (duas possibilidades restantes).

Passo 4

Explicar como distinguir paralelas de coincidentes: se forem coincidentes, existe ao menos um par (t,s) tal que as coordenadas paramétricas se igualam simultaneamente (ou, geometricamente, um ponto de r_{1} pertence a r_{2}). Se não existir tal par, são paralelas distintas.
Vou então tentar resolver o sistema para ver se existe interseção (caso existam soluções, como as direções são proporcionais isso implicaria retas coincidentes; se não houver solução, são paralelas distintas).

Passo 5

Resolver o sistema de equações obtido ao igualar as coordenadas:
\begin{cases} -\,t = 4 + 4s,\\[4pt] 2 + \tfrac{3}{2}t = 2 - 6s. \end{cases}
Da primeira equação isolamos t:
-\,t = 4 + 4s \quad\Rightarrow\quad t = -4 - 4s.
Substituindo esse t na segunda equação:
2 + \tfrac{3}{2}\bigl(-4 - 4s\bigr) = 2 - 6s.
Calcule o lado esquerdo passo a passo:
\tfrac{3}{2}\bigl(-4 - 4s\bigr) = \tfrac{3}{2}(-4) + \tfrac{3}{2}(-4s) = -6 - 6s.
Logo o lado esquerdo completo é
2 + (-6 - 6s) = -4 - 6s.
Comparando com o lado direito:
-4 - 6s \stackrel{?}{=} 2 - 6s.
Ao simplificar, os termos em -6s cancelam, sobrando
-4 = 2,
o que é uma contradição. Portanto não existe par (t,s) que satisfaça simultaneamente as duas equações.]

Passo 6

Interpretação do resultado: como os vetores diretores são proporcionais, as retas têm a mesma direção (são paralelas). Mas a tentativa de encontrar um ponto comum levou a uma contradição, logo não há nenhum ponto em comum. Portanto as retas são paralelas e distintas (não coincidentes, não concorrem).
Dica para a prova: ao encontrar vetores diretores proporcionais, sempre verifique se algum ponto de uma reta satisfaz as equações da outra (ou resolva o sistema). Se houver solução, são coincidentes; se não, são paralelas distintas.

Resposta

r_{1} e r_{2} são retas paralelas distintas; (paralelas, não coincidentes).

Exercícios relacionados