Determine se as retas
e
são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
)
)
Passo 1
O enunciado dá duas retas paramétricas e pede para decidir se são paralelas, coincidentes ou concorrentes; se forem concorrentes, determinar o ponto de interseção. As retas fornecidas são:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equações paramétricas de
e . - Os parâmetros são
para e para .
O que se pede explicitamente: - Determinar se
e são paralelas, coincidentes ou concorrentes. - Se forem concorrentes, fornecer o ponto de interseção.]
Passo 2
Escrevendo cada reta na forma ponto + parâmetro·vetor-diretor para visualizar melhor:
- Para
, ao tomar obtemos o ponto . A forma vetorial é
Logo o vetor diretor de
é
.
- Para
, ao tomar obtemos o ponto . A forma vetorial é
Logo o vetor diretor de
é
.
Explicação rápida (para lembrar na prova): representação paramétrica de uma reta em
pode sempre ser vista como um ponto na reta mais um parâmetro multiplicando um vetor diretor; esse vetor diretor indica a direção da reta.
Passo 3
Verificar se os vetores diretores são proporcionais (condição de paralelismo).
Procuramos tal que
. Das componentes:
Procuramos
Verificando a segunda componente com
:
a igualdade é verdadeira. Portanto
, ou seja,
e
são proporcionais.
Conclusão desta etapa: as retas têm direções paralelas. Assim,
e
são paralelas ou coincidentes (duas possibilidades restantes).
Passo 4
Explicar como distinguir paralelas de coincidentes: se forem coincidentes, existe ao menos um par
tal que as coordenadas paramétricas se igualam simultaneamente (ou, geometricamente, um ponto de
pertence a
). Se não existir tal par, são paralelas distintas.
Vou então tentar resolver o sistema para ver se existe interseção (caso existam soluções, como as direções são proporcionais isso implicaria retas coincidentes; se não houver solução, são paralelas distintas).
Passo 5
Resolver o sistema de equações obtido ao igualar as coordenadas:
Da primeira equação isolamos
:
Substituindo esse
na segunda equação:
Calcule o lado esquerdo passo a passo:
Logo o lado esquerdo completo é
Comparando com o lado direito:
Ao simplificar, os termos em
cancelam, sobrando
o que é uma contradição. Portanto não existe par
que satisfaça simultaneamente as duas equações.]
Passo 6
Interpretação do resultado: como os vetores diretores são proporcionais, as retas têm a mesma direção (são paralelas). Mas a tentativa de encontrar um ponto comum levou a uma contradição, logo não há nenhum ponto em comum. Portanto as retas são paralelas e distintas (não coincidentes, não concorrem).
Dica para a prova: ao encontrar vetores diretores proporcionais, sempre verifique se algum ponto de uma reta satisfaz as equações da outra (ou resolva o sistema). Se houver solução, são coincidentes; se não, são paralelas distintas.