Verifique se \vec{v} \| r, onde:
\vec{v}=\left(\frac{3}{5}, 1\right), \vec{w}=(3,5), r=\{P \mid \overrightarrow{O P}=t \vec{w}, t \in \mathbb{R}\}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Vetores: \vec{v}=\left(\tfrac{3}{5},1\right) e \vec{w}=(3,5).
  • Reta r definida por pontos P tais que \overrightarrow{OP}=t\vec{w}, com t\in\mathbb{R}. Ou seja, \vec{w} é o vetor diretor da reta r.
O que o problema pede:
  • Verificar se \vec{v} é paralelo à reta r, isto é, se \vec{v}\parallel r.

Passo 2

Explicando o que significa “um vetor ser paralelo a uma reta” (aula rápida e prática):
  • Uma reta parametrizada por t\mapsto t\vec{w} tem vetor diretor \vec{w}.
  • Um vetor \vec{v} é paralelo à reta r exatamente quando \vec{v} é paralelo ao vetor diretor \vec{w}.
  • Dois vetores em \mathbb{R}^2 são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro: existem \lambda\in\mathbb{R} tal que \vec{v}=\lambda\vec{w}.
  • Dica prática para prova: em \mathbb{R}^2 isso pode ser checado de duas maneiras fáceis:
    1. Tentar encontrar \lambda resolvendo as igualdades componente a componente.
    2. Calcular o determinante das componentes; se \det(\vec{v},\vec{w})=0 então são colineares (paralelos).

Passo 3

Aplicando o método do múltiplo escalar: escrevemos a equação componente a componente
\left(\tfrac{3}{5},1\right)=\lambda(3,5).
Isto dá o sistema
\lambda\cdot 3=\tfrac{3}{5}, \qquad \lambda\cdot 5=1.

Passo 4

Resolvendo a primeira igualdade para \lambda:
\lambda=\frac{\tfrac{3}{5}}{3}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{5}.
Mostrei passo a passo: dividir pela constante 3 é multiplicar por 1/3.

Passo 5

Verificação usando a segunda igualdade: com \lambda=\tfrac{1}{5},
\lambda\cdot 5=\tfrac{1}{5}\cdot5=1,
que coincide com a segunda componente de \vec{v}. Portanto as duas componentes são compatíveis com o mesmo \lambda.

Passo 6

Conclusão algébrica: existe \lambda=\tfrac{1}{5} tal que \vec{v}=\lambda\vec{w}. Pelas definições do Passo 2, isso significa que \vec{v} é paralelo a \vec{w} e, consequentemente, paralelo à reta r.

Passo 7

Verificação alternativa (curtinha, útil na prova): calcular o determinante das componentes
\det(\vec{v},\vec{w})=\tfrac{3}{5}\cdot 5 - 1\cdot 3 = 3-3=0.
Como o determinante é zero, os vetores são colineares, o que confirma a conclusão anterior.

Resposta

Sim. \vec{v}\parallel r pois \vec{v}=\tfrac{1}{5}\vec{w}.

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