Determine se as retas r_{1} e r_{2} são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=3+3 t \\\ y=1-\frac{1}{2} t\end{array}, t \in \mathbb{R}, \quad r_{2}: x-6 y=3"

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no plano e pede que se determine se elas são paralelas, coincidentes ou concorrentes; no caso de serem concorrentes, pedir o ponto de interseção.
Informações fornecidas:
  • A reta r_{1}\) está dada em forma paramétrica: \[r_{1}:\begin{cases} x=3+3t\\[4pt] y=1-\dfrac{1}{2}t \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.
  • A reta (r_{2}] está dada por uma equação cartesiana:
    r_{2}: x-6y=3.
O que se pede:
  • Determinar se r_{1} e r_{2} são paralelas, coincidentes ou concorrentes.
  • Se forem concorrentes, determinar o ponto de interseção.]

Passo 2

Vamos extrair vetores diretores e normais — isso ajuda a decidir paralelismo e depois a achar a interseção.
  1. Vetor diretor de uma reta em forma paramétrica: se
x=x_0+at,\qquad y=y_0+bt,
então um vetor diretor é (a,b), porque quando t aumenta de 0 para 1 a reta se desloca exatamente por esse vetor.
Aplicando a r_{1}:
\text{vetor diretor de }r_{1}:\quad v_{1}=(3,\,-\tfrac{1}{2}).
  1. Para a equação da forma ax+by=c, o vetor normal é n=(a,b). Esse vetor é perpendicular à reta; um vetor diretor v da reta satisfaz n\cdot v=0.
Aplicando a r_{2}: a equação é x-6y=3, logo
\text{vetor normal de }r_{2}:\quad n=(1,\,-6).
Um vetor diretor v_{2} de r_{2} precisa satisfazer 1\cdot v_{x}+(-6)\cdot v_{y}=0, ou seja v_{x}-6v_{y}=0. Tomando v_{y}=1 obtemos v_{x}=6. Assim podemos escolher
\text{vetor diretor de }r_{2}:\quad v_{2}=(6,\,1).

Passo 3

Teste de paralelismo (ou coincidência): duas retas são paralelas (ou coincidentes) se e somente se seus vetores diretores são proporcionais, isto é, existe k\in\mathbb{R} tal que v_{1}=k\,v_{2}.
Calculemos as razões entre componentes:
\frac{3}{6}=\frac{1}{2},\qquad \frac{-\tfrac{1}{2}}{1}=-\tfrac{1}{2}.
Como \tfrac{1}{2}\neq -\tfrac{1}{2}, não existe escalar k que torne v_{1}=k v_{2}. Portanto os vetores diretores NÃO são proporcionais.
Conclusão desta etapa: as retas não são paralelas. Se não são paralelas, não podem ser coincidentes nem paralelas; restam as concorrentes (isto é, intersectam em um único ponto).

Passo 4

Para achar a interseção, substuímos a parametrização de r_{1} na equação de r_{2} e resolvemos para t. Substituindo x=3+3t e y=1-\dfrac{1}{2}t em x-6y=3 obtemos:
(3+3t)-6\!\left(1-\dfrac{1}{2}t\right)=3.
Desenvolvendo os parênteses:
3+3t-6+3t=3.
Agrupando termos semelhantes:
-3+6t=3.
Isolando t:
6t=6\quad\Rightarrow\quad t=1.

Passo 5

Com t=1 calculamos as coordenadas correspondentes em r_{1}:
x=3+3\cdot 1=6,\qquad y=1-\dfrac{1}{2}\cdot 1=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.
Portanto as coordenadas obtidas são x=6 e y=\dfrac{1}{2}.

Resposta

Concorrentes.
Ponto de interseção: \left(6,\tfrac{1}{2}\right)

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