Determine se as retas
e
são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
"
"
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas no plano e pede que se determine se elas são paralelas, coincidentes ou concorrentes; no caso de serem concorrentes, pedir o ponto de interseção.
Informações fornecidas:
- A reta
- A reta (r_{2}] está dada por uma equação cartesiana:
O que se pede:
- Determinar se
e são paralelas, coincidentes ou concorrentes. - Se forem concorrentes, determinar o ponto de interseção.]
Passo 2
Vamos extrair vetores diretores e normais — isso ajuda a decidir paralelismo e depois a achar a interseção.
- Vetor diretor de uma reta em forma paramétrica: se
então um vetor diretor é
, porque quando
aumenta de
para
a reta se desloca exatamente por esse vetor.
Aplicando a
:
- Para a equação da forma
, o vetor normal é . Esse vetor é perpendicular à reta; um vetor diretor da reta satisfaz .
Aplicando a
: a equação é
, logo
Um vetor diretor
de
precisa satisfazer
, ou seja
. Tomando
obtemos
. Assim podemos escolher
Passo 3
Teste de paralelismo (ou coincidência): duas retas são paralelas (ou coincidentes) se e somente se seus vetores diretores são proporcionais, isto é, existe
tal que
.
Calculemos as razões entre componentes:
Como
, não existe escalar
que torne
. Portanto os vetores diretores NÃO são proporcionais.
Conclusão desta etapa: as retas não são paralelas. Se não são paralelas, não podem ser coincidentes nem paralelas; restam as concorrentes (isto é, intersectam em um único ponto).
Passo 4
Para achar a interseção, substuímos a parametrização de
na equação de
e resolvemos para
. Substituindo
e
em
obtemos:
Desenvolvendo os parênteses:
Agrupando termos semelhantes:
Isolando
:
Passo 5
Com
calculamos as coordenadas correspondentes em
:
Portanto as coordenadas obtidas são
e
.
Resposta
Concorrentes.
Ponto de interseção:
Ponto de interseção: