Determine se as retas L1 e L2 são paralelas, reversas ou concorrentes. Se forem concorrentes, determine seu ponto de intersecção.
L1: x=4-6 t, y=1+3 t, z=-5+2 t
L2: x=5+18 t, y=6-9 t, z=3-6 t

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica:
L1:;x=4-6t,;y=1+3t,;z=-5+2t e
L2:;x=5+18u,;y=6-9u,;z=3-6u.
O objetivo é decidir se elas são paralelas, reversas (skew) ou concorrentes (intersectam). Para isso vamos usar vetores diretores e testar colinearidade e coincidência.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores das duas retas:
para L1,
vec v1=(-6,;3,;2),
e para L2,
vec v2=(18,;-9,;-6)

Passo 3

Verificamos se vec v1 e vec v2 são colineares, ou seja, se existe lambdaneq0 tal que vec v2=lambda,vec v1.
Calculando
-3cdot(-6,3,2)=(18,-9,-6)=vec v2,
logo lambda=-3. Como são colineares, as retas ou são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para ver se coincidem, vemos se um ponto de L2 pertence a L1. Tomemos u=0 em L2, que dá o ponto (5,6,3). Procuramos t tal que
(4-6t,;1+3t,;-5+2t)=(5,6,3)
Da primeira coordenada vem 4-6t=5implies t=-tfrac16, mas então a segunda seria 1+3(-tfrac16)=tfrac12neq6. Não há solução comum, logo as retas não coincidem.

Passo 5

Concluímos que as retas têm vetores diretores colineares e não coincidem, portanto são paralelas.

Resposta

As retas L1 e L2 são paralelas.

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