Encontre equaçōes simétricas para a reta de intersecção dos planos.
Passo 1
O enunciado pede as equações simétricas da reta que é a interseção dos planos
e
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: para achar a reta de interseção de dois planos, resolvemos o sistema para expressar duas variáveis em função de um parâmetro.
Passo 2
Escrevemos o sistema
e somamos as duas equações para eliminar y:
(4x - y + 2z) + (2x + y + 7z) = 3 + 9 ;Longrightarrow; 6x + 9z = 12 ;Longrightarrow; x = 2 - tfrac32,z
Passo 3
Substituímos x = 2 - tfrac32z em uma das equações (por exemplo na segunda) para achar y:
2(2 - tfrac32z) + y + 7z = 9 ;Longrightarrow; 4 - 3z + y + 7z = 9 ;Longrightarrow; y = 5 - 4z
Portanto
x = 2 - tfrac32z, y = 5 - 4z, z = z
Passo 4
Para escrever em forma simétrica, introduzimos um parâmetro t escolhendo
t = -z
Assim
z = -t, x = 2 - tfrac32(-t) = 2 + tfrac32t, y = 5 - 4(-t) = 5 + 4t
Passo 5
Agora temos a forma paramétrica
x = 2 + tfrac32t, y = 5 + 4t, z = -t,
o que se converte na forma simétrica
x - 2tfrac32 ;=;y - 54;=;z-1
Multiplicando numerador e denominador de cada fração por 2, fica mais bonito: