Determine as retas tangente e normal à função f(x)=log a(x), onde a>1 e x>1.

Passo 1

O enunciado pede para achar as equações da reta tangente e da reta normal à curva dada por
f(x)=loga(x), com a>1 e x>1.
O conteúdo principal aqui é derivação de log para obter o coeficiente angular da tangente e aplicação da fórmula ponto-inclinação para montar as retas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de
f(x)=loga(x).
Lembrando que loga(x)=ln(x)ln(a), temos
f'(x) =ddx!l(ln(x)ln(a)r) =1ln(a)cdotddxl(ln(x)r) =1x,ln(a)

Passo 3

Seja x0>1 o ponto em que queremos a tangente. O ponto na curva é
l(x0,,f(x0)r) =l(x0,,loga(x0)r)
e o coeficiente angular da tangente é
mtan =f'(x0) =1x0,ln(a)
Usando a fórmula ponto-inclinação, a reta tangente fica
boxed y-loga(x0) =1x0,ln(a),l(x-x0r)

Passo 4

A reta normal tem coeficiente angular igual ao negativo do inverso da tangente, ou seja
mnor =-,1mtan =-,x0,ln(a)
Aplicando ponto-inclinação, a reta normal é
boxed y-loga(x0) =-,x0,ln(a),l(x-x0r)

Resposta

Equação da reta tangente em l(x0,loga(x0)r):
y-loga(x0) =1x0,ln(a),(x-x0)
Equação da reta normal em l(x0,loga(x0)r):
y-loga(x0) =-,x0,ln(a),(x-x0)

Exercícios relacionados