Identifique e esboce o traço de cada superfície parametrizada, indicando as respectivas curvas coordenadas.
g(u, v)=(cos u, sen u, v), 0<u<2 pi e v in R.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
g(u,v) = (cos u,;sin u,;v),
com 0 < u < 2pi e vinR.
Isso é uma superfície cilíndrica de raio 1 em torno do eixo z.
Precisamos identificar os traços (seções) obtidos fixando cada parâmetro e indicar as curvas coordenadas.

Passo 2

Fixando v=v0 (constante), temos
g(u,v0) = (cos u,;sin u,;v0), 0<u<2pi
Essa é a curva coordenada obtida ao variar u e manter v fixo: um círculo de raio 1 no plano horizontal z=v0.

Passo 3

Fixando u=u0 (constante), temos
g(u0,v) = (cos u0,;sin u0,;v), vinR
Essa é a curva coordenada ao variar v e manter u fixo: uma reta vertical paralela ao eixo z, passando pelo ponto (cos u0,sin u0,0).

Passo 4

Esboço mental do traçado:
  • A superfície inteira é o cilindro x^2+y^2=1.
  • As curvas de nível v=v0 são círculos horizontais empilhados ao longo de z.
  • As curvas de nível u=u0 são linhas verticais que percorrem todo o eixo z.

Resposta

As curvas coordenadas são:
– Para v=v0:
gammav0(u) = (cos u,;sin u,;v0), 0<u<2pi,
um círculo de raio 1 em z=v0.
– Para u=u0:
de<au0(v) = (cos u0,;sin u0,;v), vinR,
uma reta vertical em torno do eixo z.

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