Determine as retas tangentes ao círculo x^{2}+y^{2}=4 que passam pelo ponto (3,4).

Passo 1

O problema pede as retas tangentes ao círculo de equação
x^{2}+y^{2}=4
que passam pelo ponto (3,4).
Conteúdo: geometria analítica – equação da reta em função do coeficiente angular e condição de tangência via distância do centro à reta igual ao raio.

Passo 2

Qualquer reta que passe por (3,4) pode ser escrita em forma ponto-declive como
y - 4 = m\,(x - 3),
onde m é o coeficiente angular a determinar.

Passo 3

Passamos para a forma geral A x + B y + C = 0. Da equação acima temos
y = m x - 3m + 4 \quad\Longrightarrow\quad m x - y - 3m + 4 = 0.
Aqui A=m, B=-1, C=-3m+4.

Passo 4

A condição de tangência é que a distância do centro (0,0) à reta seja igual ao raio 2:
\frac{\bigl|A\cdot 0 + B\cdot 0 + C\bigr|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} =\frac{\bigl|-3m+4\bigr|}{\sqrt{m^{2}+1}} =2.
Elevando ao quadrado obtemos
(4 - 3m)^{2} = 4\,(m^{2}+1).
Desenvolvendo e simplificando:
16 -24m +9m^{2} = 4m^{2} + 4 \quad\Longrightarrow\quad 5m^{2} -24m +12 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática
5m^{2} -24m +12 = 0
temos
\Delta = (-24)^{2} - 4\cdot5\cdot12 = 576 - 240 = 336,
m = \frac{24 \pm \sqrt{336}}{10} = \frac{24 \pm 4\sqrt{21}}{10} = \frac{12 \pm 2\sqrt{21}}{5}.

Passo 6

Para cada m calculamos o coeficiente linear b usando b = 4 - m\cdot3:
Para m_{1} = \frac{12 + 2\sqrt{21}}{5}:
b_{1} = 4 - 3\,\frac{12 + 2\sqrt{21}}{5} = \frac{20 - 36 - 6\sqrt{21}}{5} = \frac{-16 - 6\sqrt{21}}{5}.
Para m_{2} = \frac{12 - 2\sqrt{21}}{5}:
b_{2} = 4 - 3\,\frac{12 - 2\sqrt{21}}{5} = \frac{20 - 36 + 6\sqrt{21}}{5} = \frac{-16 + 6\sqrt{21}}{5}.

Passo 7

As duas retas procuradas são, em forma explícita y = m x + b:
\text{Reta 1: } y = \frac{12 + 2\sqrt{21}}{5}\,x \;+\;\frac{-16 - 6\sqrt{21}}{5},
\text{Reta 2: } y = \frac{12 - 2\sqrt{21}}{5}\,x \;+\;\frac{-16 + 6\sqrt{21}}{5}.

Resposta

As retas tangentes são
y = \frac{12 + 2\sqrt{21}}{5}\,x - \frac{16 + 6\sqrt{21}}{5} \quad\text{e}\quad y = \frac{12 - 2\sqrt{21}}{5}\,x - \frac{16 - 6\sqrt{21}}{5}.

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