Seja a matriz A=\left[\begin{array}{lll}1 & k & k \\\\ 1 & 1 & k \\\\ 1 & k & 1\end{array}\right].
Determine k de modo que \operatorname{det}(\operatorname{adj} A)=16.
Escolha uma opção:
a. k=-1 ou k=2.
b. k=3 ou k=-1.
c. k=-3 ou k=5
d. Não existe k real
e. k= \pm 1

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & k & k\\\\ 1 & 1 & k\\\\ 1 & k & 1 \end{pmatrix}
e pede os valores de k tais que \det(\operatorname{adj}A)=16. O conteúdo envolvido é a propriedade de determinante da matriz adjunta (ou adjugata).

Passo 2

Para uma matriz quadrada n\times n vale a identidade
\det(\operatorname{adj}A) = \det(A)^{\,n-1}.
No nosso caso n=3, logo
\det(\operatorname{adj}A) = \det(A)^{2}.

Passo 3

Agora calculamos \det(A). Expandindo pela primeira linha:
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & k\k & 1\end{pmatrix} - k\cdot\det\begin{pmatrix}1 & k\\\ 1 & 1\end{pmatrix} + k\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & k\end{pmatrix}.
Isso dá
\det(A) = (1 - k^2) - k(1 - k) + k(k - 1) = 1 - k^2 - k + k^2 + k^2 - k = (k-1)^2.

Passo 4

Queremos \det(\operatorname{adj}A)=16, ou seja
\det(A)^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad \bigl((k-1)^2\bigr)^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad (k-1)^4 = 16 = 2^4.
Daí
|k-1| = 2 \quad\Longrightarrow\quad k-1 = \pm 2 \quad\Longrightarrow\quad k = 3 \quad\text{ou}\quad k = -1.

Resposta

(b)

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