1. Determine as retas tangentes traçadas do ponto A(3,-1) à elipse 2 x^2+3 y^2+x-y=5.

Passo 1

O enunciado pede as equações das retas tangentes traçadas do ponto A(3,-1) à elipse
2x^2+3y^2+x-y=5
O conteúdo é geometria analítica: vamos escrever a reta genérica que passa por A e impor a condição de tangência à elipse usando discriminante zero na interseção.

Passo 2

Uma reta de coeficiente angular m que passa por A(3,-1) tem equação
y = m x + b,
onde, por passar em (3,-1), temos
-1 = mcdot3 + b Longrightarrow b = -1 - 3m

Passo 3

Substituindo y = m x + b em 2x^2+3y^2+x-y-5=0 obtemos o polinômio em x
(2+3m^2),x^2 ;+;(6m b +1 - m),x;+;(3b^2 - b -5);=;0
Para que essa reta seja tangente à elipse, esse polinômio deve ter uma única raiz real (ponto duplo), ou seja, seu discriminante deve ser zero:
De<a = (6m b +1 - m)^2 ;-;4(2+3m^2)(3b^2 - b -5);=;0

Passo 4

Usando b = -1 -3m e desenvolvendo, o discriminante dá a equação em m
191m^2 + 182m - 9 = 0
As raízes são
m1 = -1, m2 = 9191

Passo 5

Para m1=-1 vem
b1 = -1 -3(-1) = 2,
logo a reta é
y = -x + 2
Para m2=tfrac9191 vem
b2 = -1 -3cdot9191 = -218191,
logo a reta é
y = 9191,x ;-;218191

Resposta

As retas tangentes são
y = -x + 2 e y = 9191,x - 218191

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