Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
(f) Vértice V(4,-1), eixo focal r: y=-1 e passa no ponto P(3,-3).

Passo 1

Resumo do enunciado e identificação do modelo
Temos uma parábola de vértice V(4,-1), eixo focal dado pela reta r:y=-1 (logo eixo horizontal) e que passa pelo ponto P(3,-3). Para parábolas com eixo horizontal usamos a forma canônica
(y - k)^2 = 4p,(x - h),
onde (h,k) é o vértice e p determina a abertura (direção e “distância” foco-diretriz).

Passo 2

Definição dos parâmetros h e k
Como o vértice é V(4,-1), temos
h = 4, k = -1
Portanto a equação genérica fica
(y + 1)^2 = 4p,(x - 4)

Passo 3

Determinação de p a partir de P(3,-3)
Substituímos (x,y)=(3,-3) na equação:
(-3 + 1)^2 = 4p,(3 - 4) Longrightarrow (-2)^2 = 4pcdot(-1) Longrightarrow 4 = -4p Longrightarrow p = -1

Passo 4

Equação final e direção de abertura
Como p=-1, a parábola abre para a esquerda. Sua equação é
(y + 1)^2 = -4,(x - 4)

Passo 5

Cálculo do foco, diretriz e excentricidade
O foco fica em
Fl(h+p,,kr) = (4-1,,-1) = (3,-1)
A diretriz é a reta
x = h - p = 4 - (-1) = 5
A excentricidade de toda parábola vale
e = 1
O eixo focal já é a reta y=-1, conforme dado.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico
  • O eixo de simetria é a reta horizontal y=-1.
  • O vértice está em V(4,-1).
  • O foco está dentro da curva, em F(3,-1), e a diretriz é a reta vertical x=5.
  • A parábola abre para a esquerda, ficando “mais próxima” de x=5 à medida que vai para a direita e afastando-se para a esquerda.
           x
    ↑
    |
  y = -1 ──●─────────────   ← eixo de simetria
          V(4,-1)
           \
            \    curva abrindo
             ● F(3,-1)     para a esquerda
              \
               \
       │││││││││││││││  ← diretriz x=5

Resposta

Equação:
(y + 1)^2 = -4,(x - 4)
Vértice:
V(4,-1)
Foco:
F(3,-1)
Eixo focal:
r: y = -1
Diretriz:
x = 5
Excentricidade:
e = 1

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