Determine a reunião dos círculos de raio r, contidos num plano alpha e que têm um ponto comum 0 in alpha.

Passo 1

O enunciado pede a união de todos os círculos de raio r num plano alpha que passam pelo ponto comum O. O conteúdo é geometria de círculos e vamos usar propriedades de distâncias e existência de centros.

Passo 2

Para um ponto genérico Pinalpha pertencer a essa união, deve existir um centro C tal que CP=r e CO=r. Pelo triângulo CPO e a desigualdade triangular temos:
PO <= CP + CO = r + r = 2r
Além disso, se PO <= 2r, podemos construir C como interseção dos círculos de raio r centrados em O e em P, garantindo que CP=CO=r.

Passo 3

Logo, o ponto P pertence à união dos círculos de raio r que passam por O se, e somente se, a distância PO satisfaz PO<=2r. Assim, essa união preenche exatamente o disco de raio 2r centrado em O.

Resposta

O conjunto é o disco fechado centrado em O de raio 2r, ou seja, Xinalpha: OX<=2r.

Exercícios relacionados