Considere o problema y^prime prime-y^prime+14 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=a. Determine os valores de a tais que a solução y(t) infty, quando t infty.

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: raízes de equação característica (repetidas)
Precisamos achar a solução geral e ajustar usando y(0)=2 e y’(0)=a

Passo 2

Formamos a equação característica:
r^2 - r + tfrac14 = 0
O discriminante é De, logo temos uma raiz dupla

Passo 3

Para raiz dupla r=tfrac12, a solução geral é
y(t) = (C1 + C2,t)e^t/2

Passo 4

Calculamos as constantes com as condições iniciais. Primeiro, de y(0)=2 vem C1=2. Derivando:
y'(t) = e^t/2l(C2 + tfrac12(C1 + C2 t)r)
Em t=0: y'(0)=C2 + C1/2 = a implica C2 = a - 1

Passo 5

Para estudar o limite quando ttoinfty, note que
y(t) = l(2 + (a-1)tr)e^t/2
Como e^t/2toinfty sempre, o sinal de y(t) no infinito é dado pelo fator 2 + (a-1)t. Se a-1>0 (ou seja, a>1) esse fator fica positivo e cresce, e y(t)→+∞. Se a=1 esse fator é constante positiva (igual a 2), então também y(t)→+∞. Para a<1 o fator fica negativo e y(t)→−∞.

Passo 6

Concluímos que a solução diverge para +∞ quando a>=1.

Resposta

a >= 1

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