Considere o problema
. Determine os valores de
tais que a solução
, quando
.
Passo 1
O problema pede para resolver a EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: raízes de equação característica (repetidas)
Precisamos achar a solução geral e ajustar usando y(0)=2 e y’(0)=a
Conteúdo: raízes de equação característica (repetidas)
Precisamos achar a solução geral e ajustar usando y(0)=2 e y’(0)=a
Passo 2
Formamos a equação característica:
O discriminante é
, logo temos uma raiz dupla
Passo 3
Para raiz dupla
, a solução geral é
Passo 4
Calculamos as constantes com as condições iniciais. Primeiro, de y(0)=2 vem
. Derivando:
Em t=0:
implica
Passo 5
Para estudar o limite quando
, note que
Como
sempre, o sinal de y(t) no infinito é dado pelo fator
. Se
(ou seja,
) esse fator fica positivo e cresce, e y(t)→+∞. Se
esse fator é constante positiva (igual a 2), então também y(t)→+∞. Para
o fator fica negativo e y(t)→−∞.
Passo 6
Concluímos que a solução diverge para +∞ quando
.