Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial F(x, y, z)=xy i+yz j+zx k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial F(x, y, z) = xy i + yz j + zx k.
Vamos trabalhar com Cálculo Vetorial, especificamente com os conceitos de rotacional (curl) e divergente (divergence). Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas do rotacional e do divergente e saber como aplicar derivadas parciais nesses componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial F. O divergente é dado pela soma das derivadas parciais de cada componente em relação às suas variáveis correspondentes. A fórmula do divergente é:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
onde F = Fx i + Fy j + Fz k.

Passo 3

Vamos identificar as componentes de F:
Fx = xy, Fy = yz, Fz = zx
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
partial Fxpartial x = partialpartial x(xy) = 1y
partial Fypartial y = partialpartial y(yz) = 1z
partial Fzpartial z = partialpartial z(zx) = 1x

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para encontrar o divergente:
nabla cdot F = 1y + 1z + 1x = 1x + 1y + 1z

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial F. O rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k

Passo 6

Vamos calcular cada termo do rotacional:
  1. Componente i:
partial Fzpartial y = partialpartial y(zx) = 0
partial Fypartial z = partialpartial z(yz) = -yz^2
Então:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 0 - (-yz^2) = yz^2
  1. Componente j:
partial Fxpartial z = partialpartial z(xy) = 0
partial Fzpartial x = partialpartial x(zx) = -zx^2
Então:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = 0 - (-zx^2) = zx^2
  1. Componente k:
partial Fypartial x = partialpartial x(yz) = 0
partial Fxpartial y = partialpartial y(xy) = -xy^2
Então:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 0 - (-xy^2) = xy^2

Passo 7

Agora, juntando todas as componentes, temos o rotacional:
nabla times F = yz^2 i + zx^2 j + xy^2 k

Resposta

(a) O rotacional do campo vetorial F é:
nabla times F = yz^2 i + zx^2 j + xy^2 k
(b) O divergente do campo vetorial F é:
nabla cdot F = 1x + 1y + 1z

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