Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial
.
Vamos trabalhar com Cálculo Vetorial, especificamente com os conceitos de rotacional (curl) e divergente (divergence). Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas do rotacional e do divergente e saber como aplicar derivadas parciais nesses componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial
. O divergente é dado pela soma das derivadas parciais de cada componente em relação às suas variáveis correspondentes. A fórmula do divergente é:
onde
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas para encontrar o divergente:
Passo 5
Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial
. O rotacional é dado por:
Passo 6
Vamos calcular cada termo do rotacional:
- Componente
:
Então:
- Componente
:
Então:
- Componente
:
Então:
Passo 7
Agora, juntando todas as componentes, temos o rotacional:
Resposta
(a) O rotacional do campo vetorial
é:
(b) O divergente do campo vetorial
é: