Resolva a equação
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Passo 1
A equação dada é uma EDO de Euler–Cauchy de ordem 3:
x³ d³y/dx³ + 5x² d²y/dx² + 7x dy/dx + 8y = 0.
Para resolver esse tipo de equação, a gente supõe uma solução do tipo y = xʳ e obtém um polinômio característico em r.
Passo 2
Para y = xʳ, as derivadas ficam:
Passo 3
Substituindo essas derivadas na equação original:
Colocando tudo em evidência xʳ e simplificando, obtemos o característico:
Passo 4
Agora expandimos e juntamos termos:
Passo 5
Para achar as raízes desse polinômio, testamos r = -2:
Então (r + 2) é fator, e a divisão dá r² + 4 = 0. As outras raízes são r = 2i e r = -2i.
Passo 6
Como temos uma raiz real r₁ = -2 e um par complexo r₂,₃ = ±2i, a solução geral fica:
y = C₁ x^{-2} + C₂ x^{2i} + C₃ x^{-2i}.
Convertendo a parte complexa em forma real usando x^{2i} = e^{2i ln x}, temos:
y = C₁ x^{-2} + A \cos\bigl(2\ln x\bigr) + B \sin\bigl(2\ln x\bigr),
y = C₁ x^{-2} + A \cos\bigl(2\ln x\bigr) + B \sin\bigl(2\ln x\bigr),
onde A e B são constantes reais equivalentes a C₂ e C₃.
Passo 7
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