Resolva a equação x^3 d^3 yd x^3+5 x^2 d^2 yd x^2+7 x d yd x+8 y=0;

Passo 1

A equação dada é uma EDO de Euler–Cauchy de ordem 3:
x³ d³y/dx³ + 5x² d²y/dx² + 7x dy/dx + 8y = 0.
Para resolver esse tipo de equação, a gente supõe uma solução do tipo y = xʳ e obtém um polinômio característico em r.

Passo 2

Para y = xʳ, as derivadas ficam:
dydx = r x^r-1, d^2ydx^2 = r(r-1) x^r-2, d^3ydx^3 = r(r-1)(r-2) x^r-3

Passo 3

Substituindo essas derivadas na equação original:
x^3 cdot r(r-1)(r-2) x^r-3 + 5x^2 cdot r(r-1) x^r-2 + 7x cdot r x^r-1 + 8x^r = 0
Colocando tudo em evidência xʳ e simplificando, obtemos o característico:
r(r-1)(r-2) + 5r(r-1) + 7r + 8 = 0

Passo 4

Agora expandimos e juntamos termos:
r^3 -3r^2 +2r +5r^2 -5r +7r +8 = r^3 +2r^2 +4r +8 = 0

Passo 5

Para achar as raízes desse polinômio, testamos r = -2:
(-2)^3 + 2(-2)^2 + 4(-2) + 8 = -8 + 8 -8 + 8 = 0
Então (r + 2) é fator, e a divisão dá r² + 4 = 0. As outras raízes são r = 2i e r = -2i.

Passo 6

Como temos uma raiz real r₁ = -2 e um par complexo r₂,₃ = ±2i, a solução geral fica:
y = C₁ x^{-2} + C₂ x^{2i} + C₃ x^{-2i}.
Convertendo a parte complexa em forma real usando x^{2i} = e^{2i ln x}, temos:
y = C₁ x^{-2} + A \cos\bigl(2\ln x\bigr) + B \sin\bigl(2\ln x\bigr),
onde A e B são constantes reais equivalentes a C₂ e C₃.

Passo 7

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