Encontre
Le^-2 t-5+t^2 e^3 t-4 t^2+16 t+9+t sen^2 t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função
Conteúdo: transformada de Laplace e propriedades de linearidade e de deslocamento no tempo.

Passo 2

Pela propriedade da linearidade, escrevemos
e calculamos cada transformada separadamente.

Passo 3

Para e^-2t-5: note que e^-2t-5=e^-5e^-2t. Então, usando Le^at=1/(s-a), temos
Le^-2t-5=e^-5,Le^-2t=e^-5s+2

Passo 4

Para t^2e^3t: usamos Lt^ne^at=n!/(s-a)^n+1 com n=2 e a=3:
Lt^2e^3t=2!(s-3)^3=2(s-3)^3

Passo 5

Para o polinômio -4t^2+16t+9:
  • Lt^2=2/s^3, logo L-4t^2=-4cdot2/s^3=-8/s^3
  • Lt=1/s^2, logo L16t=16/s^2
  • L1=1/s, então L9=9/s

Passo 6

Para tsin^2t: escrevemos sin^2t=(1-cos2t)/2, então
Ltsin^2t=12,Lt-12,Ltcos2t
Logo
Lt=1/s^2
Sabendo que Ltcos at=(s^2-a^2)/(s^2+a^2)^2 e a=2, com Ltsin^2t=12s^2-12s^2-4(s^2+4)^2 , segue

Passo 7

Agora, somamos todas as parcelas para obter a transformada de f(t):
Lf(t)=e^-5s+2+2(s-3)^3-8s^3+16s^2+9s+12s^2-12s^2-4(s^2+4)^2

Resposta

Lf(t)=e^-5s+2+2(s-3)^3-8s^3+16s^2+9s+12s^2-12s^2-4(s^2+4)^2

Exercícios relacionados