Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
F(x, y, z)=lang<= e^x, e^x y, e^x yrang<=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial
F(x,y,z)=lang<= e^x,,e^xy,,e^xyrang<=.
O conteúdo aqui é cálculo vetorial em R^3. Vamos usar as fórmulas
nabla times F =l(Ry-Qz,,Pz-Rx,,Qx-Pyr)
e
nabla cdot F = Px+Qy+Rz,
onde F=(P,Q,R).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Para P(x,y,z)=e^x:
Px=partial e^xpartial x=e^x, Py=0, Pz=0
Para Q(x,y,z)=e^xy:
Qx=partial e^xypartial x=y,e^xy, Qy=x,e^xy, Qz=0
Para R(x,y,z)=e^xy:
Rx=partial e^xypartial x=y,e^xy, Ry=x,e^xy, Rz=0

Passo 3

Agora montamos o rotacional usando
nabla times F =l(Ry-Qz,,Pz-Rx,,Qx-Pyr)
Substituindo:
Ry-Qz = x,e^xy - 0 = x,e^xy,
Pz-Rx = 0 - y,e^xy = -,y,e^xy,
Qx-Py = y,e^xy - 0 = y,e^xy
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nabla times F =lang<= x,e^xy,,-y,e^xy,,y,e^xyrang<=

Passo 4

Agora o divergente, que é
nabla cdot F = Px+Qy+Rz
Substituindo:
Px=e^x, Qy=x,e^xy, Rz=0
resulta em
nabla cdot F = e^x + x,e^xy

Resposta

(a) nabla times F=lang<= x,e^xy,,-y,e^xy,,y,e^xyrang<=
(b) nabla cdot F=e^x + x,e^xy

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