Use o método dos coeficientes indeterminados para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
Este é um problema de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, ou seja, obter a solução geral da equação homogênea e adicionar soluções particulares para cada termo no lado direito.
Passo 2
A parte homogênea é
cuja equação característica é
Logo as raízes são
e
, e a solução complementar é
Passo 3
Para o termo
há ressonância (pois
já é raiz), então propomos
Calculando derivadas,
Aplicando o operador linear,
Para igualar a
precisamos de
.
Passo 4
Para o termo
usamos o ansatz
Definindo
, obtemos
onde
Substituindo no lado esquerdo,
Reescrevendo em cosseno e seno,
Passo 5
Igualando a
temos o sistema
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
Passo 6
A solução particular total é
Logo a solução geral é