Use o método dos coeficientes indeterminados para resolver a equação diferencial dada.
y^prime prime-5 y^prime+6 y=e^3 x+2 e^2 x cos (3 x)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
y'' - 5y' + 6y = e^3x + 2e^2xcos(3x)
Este é um problema de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, ou seja, obter a solução geral da equação homogênea e adicionar soluções particulares para cada termo no lado direito.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 5y' + 6y = 0,
cuja equação característica é
r^2 - 5r + 6 = 0 Longrightarrow (r-2)(r-3)=0
Logo as raízes são r=2 e r=3, e a solução complementar é
yc = C1 e^2x + C2 e^3x

Passo 3

Para o termo e^3x há ressonância (pois r=3 já é raiz), então propomos
yp1 = A x e^3x
Calculando derivadas,
yp1' = A e^3x(1+3x), yp1'' = A e^3x(6+9x)
Aplicando o operador linear,
yp1'' -5yp1' +6yp1 = A e^3xl[(6+9x)-5(1+3x)+6xr] = A e^3x
Para igualar a e^3x precisamos de A=1.

Passo 4

Para o termo 2e^2xcos(3x) usamos o ansatz
yp2 = e^2xl(Bcos(3x) + Dsin(3x)r)
Definindo u = Bcos(3x)+Dsin(3x), obtemos
yp2 = e^2xu, yp2' = e^2x(2u+u'), yp2'' = e^2x(4u+4u'+u''),
onde
u' = -3Bsin(3x)+3Dcos(3x), u'' = -9u
Substituindo no lado esquerdo,
yp2'' -5yp2' +6yp2 = e^2xl[(-5u+4u') -5(2u+u') +6ur] = e^2x(-9u - u')
Reescrevendo em cosseno e seno,
yp2'' -5yp2' +6yp2 = e^2xl[(-9B-3D)cos(3x)+(3B-9D)sin(3x)r]

Passo 5

Igualando a 2e^2xcos(3x) temos o sistema
-9B - 3D = 2, 3B - 9D = 0
Da segunda equação B=3D. Substituindo na primeira:
-9(3D)-3D=-30D=2Longrightarrow D=-tfrac115, B=-tfrac15

Passo 6

A solução particular total é
yp = x e^3x ;+; e^2xl(-tfrac15cos(3x)-tfrac115sin(3x)r)
Logo a solução geral é
y(x) = C1 e^2x + C2 e^3x + x e^3x - tfrac15e^2xcos(3x) - tfrac115e^2xsin(3x)

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^3x + x e^3x - 15e^2xcos(3x) - 115e^2xsin(3x)

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