é diferenciável em todo R^2. O conteúdo que vamos usar é o critério de diferenciabilidade via continuidade das derivadas parciais: basta mostrar que as derivadas parciais existem numa vizinhança de cada ponto e são contínuas.]
Passo 2
Se (x,y)neq(0,0), a função f(x,y)=x^4cdot(x^2+y^2)^-1 é composição de funções polinomiais e da função (x,y)mapsto1/(x^2+y^2), todas C^infty nessa região. Logo f é diferenciável para (x,y)neq(0,0).
Passo 3
Vamos calcular partial f/partial x e partial f/partial y em (0,0) pelas definições:
Como em (0,0) ambas valem zero, concluímos que as derivadas parciais são contínuas em todo ponto, inclusive na origem.
Passo 6
Pela teoria de diferenciabilidade em várias variáveis, se as derivadas parciais existem numa vizinhança de um ponto e são contínuas nesse ponto, então a função é diferenciável ali. Como já vimos essa continuidade em toda R^2, concluímos que f é diferenciável em todo o plano.