Prove que as funções dadas são diferenciáveis:
Verifique que f(x, y)=llx^4x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0) é uma função diferenciável.
Observação: Para esse exercício, peço que façam utilizando a continuidade das derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a função
f(x,y)= dfracx^4x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
é diferenciável em todo R^2. O conteúdo que vamos usar é o critério de diferenciabilidade via continuidade das derivadas parciais: basta mostrar que as derivadas parciais existem numa vizinhança de cada ponto e são contínuas.]

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), a função f(x,y)=x^4cdot(x^2+y^2)^-1 é composição de funções polinomiais e da função (x,y)mapsto1/(x^2+y^2), todas C^infty nessa região. Logo f é diferenciável para (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Vamos calcular partial f/partial x e partial f/partial y em (0,0) pelas definições:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^4/(h^2+0)-0h =limhto0h^4/h^2h =limhto0h^2h =limhto0h =0
De modo análogo,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-0k =limkto00k =0

Passo 4

Para (x,y)neq(0,0), usamos regra do quociente. Defina g(x,y)=x^4 e h(x,y)=x^2+y^2. Então
f=gh, partialx f =partialx gcdot h - gcdotpartialx hh^2 =4x^3(x^2+y^2)-x^4cdot2x(x^2+y^2)^2 =2x^3l(x^2+2y^2r)(x^2+y^2)^2,
e
partialy f =0cdot(x^2+y^2)-x^4cdot2y(x^2+y^2)^2 =-2x^4y(x^2+y^2)^2

Passo 5

Mostramos que partialx f e partialy f tendem a zero quando (x,y)to(0,0). Seja r=raizx^2+y^2. Então
l|partialx f(x,y)r| =2|x|^3,(x^2+2y^2)(x^2+y^2)^2 <=2r^3cdot3r^2r^4 =6r;xrightarrow[rto0]0,
e
l|partialy f(x,y)r| =2|x|^4|y|(x^2+y^2)^2 <=2r^4cdot rr^4 =2r;xrightarrow[rto0]0
Como em (0,0) ambas valem zero, concluímos que as derivadas parciais são contínuas em todo ponto, inclusive na origem.

Passo 6

Pela teoria de diferenciabilidade em várias variáveis, se as derivadas parciais existem numa vizinhança de um ponto e são contínuas nesse ponto, então a função é diferenciável ali. Como já vimos essa continuidade em toda R^2, concluímos que f é diferenciável em todo o plano.

Resposta

A função f é diferenciável em todo R^2.

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